学习笔记：卡特兰数

Catalan 数列

以下问题属于 Catalan 数列：

1. 有 $2n$ 个人排成一行进入剧场。入场费 5 元。其中只有 $n$ 个人有一张 5 元钞票，另外 $n$ 人只有 10 元钞票，剧院无其它钞票，问有多少种方法使得只要有 10 元的人买票，售票处就有 5 元的钞票找零？
2. 一位大城市的律师在她住所以北 $n$ 个街区和以东 $n$ 个街区处工作。每天她走 $2n$ 个街区去上班。如果他从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
3. 在圆上选择 $2n$ 个点，将这些点成对连接起来使得所得到的 $n$ 条线段不相交的方法数？
4. 对角线不相交的情况下，将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数？
5. 一个栈（无穷大）的进栈序列为 $1,2,3, \cdots ,n$ 有多少个不同的出栈序列？
6. $n$ 个结点可构造多少个不同的二叉树？
7. $n$ 个 $+1$ 和 $n$ 个 $-1$ 构成 $2n$ 项 $a_1,a_2, \cdots ,a_{2n}$，其部分和满足 $a_1+a_2+ \cdots +a_k \geq 0(k=1,2,3, \cdots ,2n)$ 对与 $n$ 该数列为？

其对应的序列为：

$H_0$	$H_1$	$H_2$	$H_3$	$H_4$	$H_5$	$H_6$	...
1	1	2	5	14	42	132	...

（Catalan 数列）

递推式

该递推关系的解为：

$$ H_n = \frac{\binom{2n}{n}}{n+1}(n \geq 2, n \in \mathbf{N_{+}}) $$

关于 Catalan 数的常见公式：

$$ H_n = \begin{cases} \sum_{i=1}^{n} H_{i-1} H_{n-i} & n \geq 2, n \in \mathbf{N_{+}}\\ 1 & n = 0, 1 \end{cases} $$

$$ H_n = \frac{H_{n-1} (4n-2)}{n+1} $$

$$ H_n = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n-1} $$

这里顺便给出一下这四种递推式的代码实现：

#include <iostream>
#define MAXN 25
using namespace std;
int n, fac[MAXN], cat[MAXN], ans;
int solve1(int n){
    if(n == 0 || n == 1)return 1;
    else if(n == 2)return 2;
    else{
        fac[0] = 1;
        for(int i = 1 ; i <= (n << 1) ; i ++)
            fac[i] = fac[i - 1] * i;
        ans = fac[(n << 1)] / fac[n] / fac[(n << 1) - n];ans /= (n + 1);
        return ans;
    }
}
int solve2(int n){
    if(n == 0 || n == 1)return 1;
    else{
        cat[0] = 1;cat[1] = 1;
        for(int i = 2 ; i <= n ; i ++)
            for(int j = 1 ; j <= i ; j ++)
                cat[i] += cat[j - 1] * cat[i - j];
        return cat[n];
    }
}
int solve3(int n){
    if(n == 0)return 1;
    else{
        cat[0] = 1;
        for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
            cat[i] = cat[i - 1] * ((i << 2) - 2) / (i + 1);
        return cat[n];
    }
}
int solve4(int n){
    if(n == 0)return 1;
    else{
        fac[0] = 1;
        for(int i = 1 ; i <= (n << 1) ; i ++)
            fac[i] = fac[i - 1] * i;
        ans = (fac[n << 1] / fac[n] / fac[(n << 1) - n]) - (fac[n << 1] / fac[n - 1] / fac[(n << 1) - (n - 1)]);
        return ans;   
    }
}
int main(){
    cin >> n;
    cout << solve1(n) << endl;
    cout << solve2(n) << endl;
    cout << solve3(n) << endl;
    cout << solve4(n) << endl;
    return 0;
}

封闭形式

卡特兰数的递推式为

$$ H_n=\sum_{i=0}^{n-1}H_{i}H_{n-i-1} \quad (n\ge 2) $$

其中 $H_0=1,H_1=1$。设它的普通生成函数为 $H(x)$。

我们发现卡特兰数的递推式与卷积的形式很相似，因此我们用卷积来构造关于 $H(x)$ 的方程：

$$ \begin{aligned} H(x)&=\sum_{n\ge 0}H_nx^n\\ &=1+\sum_{n\ge 1}\sum_{i=0}^{n-1}H_ix^iH_{n-i-1}x^{n-i-1}x\\ &=1+x\sum_{i\ge 0}H_{i}x^i\sum_{n\ge 0}H_{n}x^{n}\\ &=1+xH^2(x) \end{aligned} $$

解得

$$ H(x)=\frac{1\pm \sqrt{1-4x}}{2x} $$

那么这就产生了一个问题：我们应该取哪一个根呢？我们将其分子有理化：

$$ H(x)=\frac{2}{1\mp \sqrt{1-4x}} $$

代入 $x=0$，我们得到的是 $H(x)$ 的常数项，也就是 $H_0$。当 $H(x)=\dfrac{2}{1+\sqrt{1-4x}}$ 的时候有 $H(0)=1$，满足要求。而另一个解会出现分母为 $0$ 的情况（不收敛），舍弃。

因此我们得到了卡特兰数生成函数的封闭形式：

$$ H(x)=\frac{1- \sqrt{1-4x}}{2x} $$

接下来我们要将其展开。但注意到它的分母不是斐波那契数列那样的多项式形式，因此不方便套用等比数列的展开形式。在这里我们需要使用牛顿二项式定理。我们来先展开 $\sqrt{1-4x}$：

$$ \begin{aligned} (1-4x)^{\frac{1}{2}} &=\sum_{n\ge 0}\binom{\frac{1}{2}}{n}(-4x)^n\\ &=1+\sum_{n\ge 1}\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{\underline{n}}}{n!}(-4x)^n \end{aligned} \tag{1} $$

注意到

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{2}\right)^{\underline{n}} &=\frac{1}{2}\frac{-1}{2}\frac{-3}{2}\cdots\frac{-(2n-3)}{2}\\ &=\frac{(-1)^{n-1}(2n-3)!!}{2^n}\\ &=\frac{(-1)^{n-1}(2n-2)!}{2^n(2n-2)!!}\\ &=\frac{(-1)^{n-1}(2n-2)!}{2^{2n-1}(n-1)!} \end{aligned} $$

这里使用了双阶乘的化简技巧。那么带回 $(1)$ 得到

$$ \begin{aligned} (1-4x)^{\frac{1}{2}} &=1+\sum_{n\ge 1}\frac{(-1)^{n-1}(2n-2)!}{2^{2n-1}(n-1)!n!}(-4x)^n\\ &=1-\sum_{n\ge 1}\frac{(2n-2)!}{(n-1)!n!}2x^n\\ &=1-\sum_{n\ge 1}\binom{2n-1}{n}\frac{1}{(2n-1)}2x^n \end{aligned} $$

带回原式得到

$$ \begin{aligned} H(x)&=\frac{1- \sqrt{1-4x}}{2x}\\ &=\frac{1}{2x}\sum_{n\ge 1}\binom{2n-1}{n}\frac{1}{(2n-1)}2x^n\\ &=\sum_{n\ge 1}\binom{2n-1}{n}\frac{1}{(2n-1)}x^{n-1}\\ &=\sum_{n\ge 0}\binom{2n+1}{n+1}\frac{1}{(2n+1)}x^{n}\\ &=\sum_{n\ge 0}\binom{2n}{n}\frac{1}{n+1}x^{n}\\ \end{aligned} $$

这样我们就得到了卡特兰数的通项公式。

路径计数问题

非降路径是指只能向上或向右走的路径。

1. 从 $(0,0)$ 到 $(m,n)$ 的非降路径数等于 $m$ 个 $x$ 和 $n$ 个 $y$ 的排列数，即 $\dbinom{n + m}{m}$。

2. 从 $(0,0)$ 到 $(n,n)$ 的除端点外不接触直线 $y=x$ 的非降路径数：

   先考虑 $y=x$ 下方的路径，都是从 $(0, 0)$ 出发，经过 $(1, 0)$ 及 $(n, n-1)$ 到 $(n,n)$，可以看做是 $(1,0)$ 到 $(n,n-1)$ 不接触 $y=x$ 的非降路径数。

   所有的的非降路径有 $\dbinom{2n-2}{n-1}$ 条。对于这里面任意一条接触了 $y=x$ 的路径，可以把它最后离开这条线的点到 $(1,0)$ 之间的部分关于 $y=x$ 对称变换，就得到从 $(0,1)$ 到 $(n,n-1)$ 的一条非降路径。反之也成立。从而 $y=x$ 下方的非降路径数是 $\dbinom{2n-2}{n-1} - \dbinom{2n-2}{n}$。根据对称性可知所求答案为 $2\dbinom{2n-2}{n-1} - 2\dbinom{2n-2}{n}$。

3. 从 $(0,0)$ 到 $(n,n)$ 的除端点外不穿过直线 $y=x$ 的非降路径数：

   用类似的方法可以得到：$\dfrac{2}{n+1}\dbinom{2n}{n}$。