学习笔记：哈希

哈希

引入

哈希表又称散列表，一种以「key-value」形式存储数据的数据结构。所谓以「key-value」形式存储数据，是指任意的键值 key 都唯一对应到内存中的某个位置。只需要输入查找的键值，就可以快速地找到其对应的 value。可以把哈希表理解为一种高级的数组，这种数组的下标可以是很大的整数，浮点数，字符串甚至结构体。

实现

Hash 的核心思想在于，将输入映射到一个值域较小、比较方便的范围。

要让键值对应到内存中的位置，就要为键值计算索引，也就是计算这个数据应该放到哪里。这个根据键值计算索引的函数就叫做哈希函数，也称散列函数。举个例子，如果键值是一个人的身份证号码，哈希函数就可以是号码的后四位，当然也可以是号码的前四位。生活中常用的「手机尾号」也是一种哈希函数。在实际的应用中，键值可能是更复杂的东西，比如浮点数、字符串、结构体等，这时候就要根据具体情况设计合适的哈希函数。哈希函数应当易于计算，并且尽量使计算出来的索引均匀分布。

能为 key 计算索引之后，我们就可以知道每个键值对应的值 value 应该放在哪里了。假设我们用数组 a 存放数据，哈希函数是 f，那键值对 (key, value) 就应该放在 a[f(key)] 上。不论键值是什么类型，范围有多大，f(key) 都是在可接受范围内的整数，可以作为数组的下标。

在 OI 中，最常见的情况应该是键值为整数的情况。当键值的范围比较小的时候，可以直接把键值作为数组的下标，但当键值的范围比较大，比如以 \(10^9\) 范围内的整数作为键值的时候，就需要用到哈希表。一般把键值模一个较大的质数作为索引，也就是取 \(f(x)=x \bmod M\) 作为哈希函数。

单哈希

    for(int i = 0 ; i < s[x].length() ; i ++)
        res *= 114514,res %= mod,
        res += (s[x][i] ^ 48) * (i + 1),res %= mod;

进制哈希

首先设一个进制数 base，并设一个模数 mod，进制哈希就是把一个串转化为一个值，这个值是 base 进制的，储存在哈希表中。注意一下在存入的时候取模一下即可。

    for(int i = 0 ; i < s[x].length() ; i ++)
        res = (res * base + s[x][i]) % mod;

双哈希

其实就是用两种不同的方式来算 hash，哈希冲突的概率是降低了很多，不过常数大，容易被卡。

    for(int i = 0 ; i < s[x].length() ; i ++)
        a[x].f += (s[x][i] ^ 48) * (i + 1),a[x].f %= mod;
    for(int i = 0 ; i < s[x].length() ; i ++)
        a[x].g = (a[x].g * base + s[x][i]) % mod;

关于冲突

如果对于任意的键值，哈希函数计算出来的索引都不相同，那只用根据索引把 (key, value) 放到对应的位置就行了。但实际上，常常会出现两个不同的键值，他们用哈希函数计算出来的索引是相同的。这时候就需要一些方法来处理冲突。

闭散列

也叫开放定址法，当发生哈希冲突时，如果哈希表未被装满，说明在哈希表中必然还有空位置，那么可以把key存放到冲突位置中的“下一个” 空位置中去。当发生地址冲突后，求解下一个地址。假如冲突很多，\(1\) 占了 \(1\) 的位置，\(1\) 只能占 \(2\) 的位置，\(2\) 占 \(3\) 的位置……再放 \(1\) 或者 \(2\) 的时候，就只能放在 \(4\) 的位置。具体地，我们可以看看初赛题……

相信（玩过）打过初赛的都能够理解……

开散列

开散列法又叫链地址法(开链法)，首先对关键码集合用散列函数计算散列地址，具有相同地址的关键码归于同一子集合，每一个子集合称为一个桶，各个桶中的元素通过一个单链表链接起来，各链表的头结点存储在哈希表中。（图是贺的……）

拉链法在每个元素下再拉一个数组（也可以是其他数据结构），有几个挂几个，这样就不会相互影响、抢占别人的位置了。

应用

这边贴一道笔者没长脑子挂大分的题……

test20231002 T4 string

形式化题意

给定一个字符串集合，求有多少个串使得这个串可以被断成两部分，每部分都是字符串集合中某个串的前缀。

输入

输入文件为 string.in。

为了方便选手拿暴力分，输入第一行一个整数 \(case\) 代表测试点编号。

输入第二行一个正整数 \(n\) 代表字符串集合中串个数。后面 \(n\) 行每行一个字符串。

输出

输出文件为 string.out。

输出一行一个正整数代表答案。

样例

样例 #1 输入

0
2
ab
bc

样例 #1 输出

9

说明：串 \(\texttt{aa}\)、\(\texttt{aba}\)、\(\texttt{aca}\)、\(\texttt{abac}\)、\(\texttt{acab}\)、\(\texttt{aac}\)、\(\texttt{aab}\)、\(\texttt{acac}\)、\(\texttt{abab}\) 都可以，一共 9 种。

样例 #2 输入

0
3
baab
bcaa
caca

样例 #2 输出

115

范围

设第 \(i\) 个字符串长度为 \(S_i\)，\(S_i\) 之和为 \(S\)。

对于测试点 \(1-2\)，\(S\le 50\)；

对于测试点 \(3-6\)，\(S\le 1000\)；

对于测试点 \(7-14\)，\(n\le 10000\)，\(S_i\le 30\)；

对于所有数据，保证 \(S_i\) 不为 \(0\)，\(S\le 106\)。

具体做法

哈希即可。

具体地，笔者做法是令：

\[f(x)=\sum_{i=1}^ls_i^{l-i} \]

对于任意两个字符串的哈希函数 \(f(x)\)，\(g(x)\)，定义这两个字符串相等当且仅当 \(f(x)=g(x)\)。

这样就拿到了 30 pts 的高分……

一些玩法

哈希代替 KMP。

#include <iostream>
#include <cstring>
#define MAXL 1000005
using namespace std;
const int base = 19260817;
const int mod = 1e9 + 7;
int lena, lenb;
char a[MAXL], b[MAXL];
int nxt[MAXL], has[MAXL], sum;
int bas[MAXL];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin >> a + 1 >> b + 1;
    lena = strlen(a + 1);lenb = strlen(b + 1);
    int j = 0;
    for(int i = 2 ; i <= lenb ; i ++){
        while(j != 0 && b[i] != b[j + 1])j = nxt[j];
        if(b[i] == b[j + 1])j++;
        nxt[i] = j;
    }
    j = 0;
    for(int i = 1 ; i <= lena ; i ++){
        while(j != 0 && a[i] != b[j + 1])j = nxt[j];
        if(a[i] == b[j + 1])j++;
        if(j == lenb)cout << i - lenb + 1 << endl;
    }
    for(int i = 1 ; i <= lenb ; i ++){
        if(i != 1)cout << " ";
        cout << nxt[i];
    }cout << endl;
    for(int i = 1 ; i <= lena ; i ++)
        has[i] = (has[i - 1] * base + a[i]) % mod;
    bas[0] = 1;
    for(int i = 1 ; i <= lena ; i ++)
        bas[i] = bas[i - 1] * base;
    for(int i = 1 ; i <= lenb ; i ++)
        sum = (sum * base + b[i]) % mod;
    for(int i = lenb ; i <= lena ; i ++)
        if(has[i] - has[i - lenb] * bas[lenb] == sum)cout << i - lenb + 1 << endl;
    cout << endl;return 0;
}