学习笔记：快速幂

快速幂

定义

快速幂，二进制取幂（Binary Exponentiation，也称平方法），是一个在 $O(\log n)$ 的时间内计算 $a^n$ 的小技巧，而暴力的计算需要 $O(n)$ 的时间。

这个技巧也常常用在非计算的场景，因为它可以应用在任何具有结合律的运算中。其中显然的是它可以应用于模意义下取幂、矩阵幂等运算，我们接下来会讨论。

解释

计算 $a$ 的 $n$ 次方表示将 $n$ 个 $a$ 乘在一起：$a^{n} = \underbrace{a \times a \cdots \times a}_{n\text{ 个 a}}$。然而当 $a,n$ 太大的时侯，这种方法就不太适用了。不过我们知道：$a^{b+c} = a^b \cdot a^c,\,\,a^{2b} = a^b \cdot a^b = (a^b)^2$。二进制取幂的想法是，我们将取幂的任务按照指数的 二进制表示 来分割成更小的任务。

过程

首先我们将 $n$ 表示为 2 进制，举一个例子：

$$ 3^{13} = 3^{(1101)_2} = 3^8 \cdot 3^4 \cdot 3^1 $$

因为 $n$ 有 $\lfloor \log_2 n \rfloor + 1$ 个二进制位，因此当我们知道了 $a^1, a^2, a^4, a^8, \dots, a^{2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}}$ 后，我们只用计算 $\Theta(\log n)$ 次乘法就可以计算出 $a^n$。

于是我们只需要知道一个快速的方法来计算上述 3 的 $2^k$ 次幂的序列。这个问题很简单，因为序列中（除第一个）任意一个元素就是其前一个元素的平方。

因此为了计算 $3^{13}$，我们只需要将对应二进制位为 1 的整系数幂乘起来就行了：

$$ 3^{13} = 6561 \cdot 81 \cdot 3 = 1594323 $$

将上述过程说得形式化一些，如果把 $n$ 写作二进制为 $(n_tn_{t-1}\cdots n_1n_0)_2$，那么有：

$$ n = n_t2^t + n_{t-1}2^{t-1} + n_{t-2}2^{t-2} + \cdots + n_12^1 + n_02^0 $$

其中 $n_i\in\{0,1\}$。那么就有

$$ \begin{aligned} a^n & = (a^{n_t 2^t + \cdots + n_0 2^0})\\\\ & = a^{n_0 2^0} \times a^{n_1 2^1}\times \cdots \times a^{n_t2^t} \end{aligned} $$

根据上式我们发现，原问题被我们转化成了形式相同的子问题的乘积，并且我们可以在常数时间内从 $2^i$ 项推出 $2^{i+1}$ 项。

这个算法的复杂度是 $O(\log n)$ 的，我们计算了 $O(\log n)$ 个 $2^k$ 次幂的数，然后花费 $O(\log n)$ 的时间选择二进制为 1 对应的幂来相乘。

实现

P1226 【模板】快速幂

#include <cstdio>
#define int long long
using namespace std;
int a, b, p;
signed main(){
    scanf("%d %d %d", &a, &b, &p);
    printf("%d^%d mod %d=%d\n", a, b, p, qpow(a, b, p));
    return 0;
}
int qpow(int a, int b, int p){
    int res = 1;
    while(b > 0){
        if(b & 1)res *= a,es %= p;
        a *= a;a %= p;b >>= 1;
    }
    return res;
}