第六章 数值积分与数值微分

6.1 积分与数值积分

6.1.1 定积分简介

给定有界函数\(f(x)\)以及区间\([a,b]\)，任取一组分点

\(\qquad a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\)，

把区间\([a,b]\)分成n个小区间\([x_i,x_{i+1}],i=0:n-1\)，再任取\(\xi_i\in[x_i,x_{i+1}]\)，令

\(\qquad R_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)\Delta x_i,\quad\Delta x_i=x_{i+1}-x_i,\)

设\(\lambda=\max\limits_{0\le i\le n-1}\{\Delta x_i\}\)，如果不论\([a,b]\)怎么分，不论\(\xi_i\)如何选取，只要\(\lambda\rightarrow0\)，和式的极限都存在，则把它称为函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上的定积分，记为

\(\qquad I=\int_a^bf(x)\mbox{d}x=\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)\Delta x_i\)

和式\(R_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)\Delta x_i\)称为Riemann和。

通常来说，函数\(f(x)\)只要满足连续、分段连续、单调这三者之一，定积分总存在。

1）Riemann和能否近似计算定积分

答案是否定的，为得到较好的近似效果，\(\xi_i\)和\(x_i\)都要针对性选取，且n通常会比较大，计算成本较高与初心相悖。

2）牛顿-莱布尼茨公式等解析方法的局限性

一些函数找不到初等函数表示的原函数，\(f(x)\)还可能是一个表函数，根本不知道具体的表达式。

6.1.2 数值积分

2）数值求积分的思路1

有效利用插值多项式进行数值求积

注意到\(p_n(x)=y_0l_0(x)+\cdots+y_nl_n(x),\)

则\(\int_{a}^bp_n(x)\mbox{d}x=\sum\limits_{k=0}^{n}y_k\int_{a}^bl_k(x)\mbox{d}x=\sum\limits_{k=0}^nA_ky_k,\)其中\(A_k=\int_{a}^bl_k(x)\mbox{d}x\)，这里\(A_k\)只依赖节点，不依赖于被积函数，具有一定可重复性。

3）数值求积分的思路2