第三章 非线性方程求根

3.2 根的搜索

3.2.1 数值求解的一般过程

• 确定根的大概位置，一般称为"根的搜索"；
• 将结果精细化，通常迭代来完成。

3.2.2 根的搜索

1. 作图法，譬如将等式两边图像画出，以此确定交点大概位置。
2. 分析法，利用求导函数、单调性、凹凸性、零点定理等进行分析。
3. 近似方程法，简化方程的方法，将方程中一些变化很小的量暂时忽略。
4. 定步长搜索法，依据零点定理，划分区间，将有根区间减小到需要的长度。效率低、易操作。

3.2.3 二分法

依据也是零点定理。

理论分析：假设\(y=f(x)\in C[a,b]\)

给定有根区间\([a,b]\)，且\(f(a)\cdot f(b)<0\)，如果将区间进行对分，得到的\([a,\frac{a+b}{2}],[\frac{a+b}{2},b]\)中至少有一个是又跟区间。如果\(f(a)\cdot f(\frac{a+b}{2})<0\)，取\([a,\frac{a+b}{2}]\)作为有根区间，新的有根区间\([a_1,b_1]\)。重复以上操作。

假设进行了\(n\)次对分，则小区间的长度变为\(\frac{b-a}{2^n}\)。

那么可以选取最后一个有根区间的中点作为近似值 \(\frac{b-a}{2^{n+1}}\le\varepsilon\Rightarrow n\ge \log_2{\frac{b-a}{\varepsilon}}-1\)， \(n\)一般向上取整。

3.3 不动点迭代法

3.3.1 方法介绍

满足\(x=\varphi(x)\)的\(x\)称为映射\(\varphi\)的不动点。

一个不动点迭代算法需要：

• 合适的初值
• 恰当的不动点形式

收敛速度：不动点迭代法的收敛速度至少是线性的。设极限\(\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{|e_{k+1}|}{|e_{k}|^p}=C\)

• 若\(p=1\)且\(C<1\)，则称迭代格式线性收敛；
• 若\(p>1\)，则称迭代格式是超线性收敛；

3.3.2 不动点迭代的收敛定理

设\(\varphi(x)\in C^1[a,b]\)且满足：

1. 如果\(x\in[a,b]\)，则\(\varphi(x)\in[a,b]\)
2. 存在\(L<1\)，使得\(|\varphi'(x)|\le L<1\)对任意\(x\in[a,b]\)成立。

则如下结论成立：

1. 存在唯一的\(x^*\in[a,b]\)，使得\(\varphi(x^*)=x^*\)；
2. 对任意初值\(x_0\in[a,b]\)，迭代\(x_{k+1}=\varphi(x_k)\)收敛且\(\lim\limits_{k\rightarrow\infty}x_{k+1}=x^*\)；
3. 事后误差估计：\(|x^*-x_k|\le\frac{L}{1-L}|x_k-x_{k-1}|\)
4. 事前误差估计：\(|x^*-x_k|\le\frac{L^k}{1-L}|x_1-x_0|\)
5. \(e_k=x^*-x_k\)，\(\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{e_{k+1}}{e_k}=\varphi'(x^*)\)，即算法至少是线性收敛。

3.4 Newton法

3.4.1 Newton法的导出

对于\(x_{k+1}=\varphi(x_k)\)，若\(\varphi'(x^*)=0\)，则迭代格式至少是2阶收敛。

注：已知结论\(\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{e_{k+1}}{e_k}=\varphi'(x^*)\). 由Taylor展开，

\(x^*-x_{k+1}=\varphi(x^*)-\varphi(x_k)=\varphi'(x^*)(x^*-x_k)-\frac{\varphi''(\theta_k)}{2}(x^*-x_k)^2=-\frac{\varphi''(\theta_k)}{2}(x^*-x_k)^2\)

所以\(\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{e_{k+1}}{e_k^2}=-\frac{\varphi''(x^*)}{2}\)。

设\(f(x)=0\)有根\(x^*\)即\(f(x^*)=0\)，对于一般的函数\(f(x)\)一种很容易想到的不动点格式为\(x=x+f(x)\)，而一般\(1+f'(x)\)不为零。引入\(h(x)\)，并设\(h(x^*)\ne0\)，此时\(x=x+h(x)f(x)\)，\(\varphi(x)=x+h(x)f(x)\)

求导数有\(\varphi'(x)=1+f'(x)h(x)+f(x)h'(x)\)，令\(x^*\)处导数为零，有\(h(x^*)=-\frac{1}{f'(x^*)}\)

得到2阶算法\(x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\)

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