第二章 科学计算

2.2.1 误差的来源

截断误差：简单地说，这是算法所导致的误差，当把数学上无限的过程截断就产生了这种误差。

2.2.4 如何进行数据误差分析

定义2.2 如果近似值x的绝对误差限是其某一位的半个单位，且该位直到x的第一位非零数字共有n位，则称x具有n位有效数字，由这个n位有效数字表示的近似数称为有效数。

例1：取\(\pi\)近似值\(x_1=3.14\)

\(|\pi -3.14|=0.0015926\cdots<0.005=\frac{1}{2}\times10^{-2}\)

那么，有效数字为3位。

例2：取\(\pi\)近似值\(x_2=3.1416\)

\(|\pi-3.1416|=0.000007\cdots<0.00005=\frac{1}{2}\times10^{-4}\)

那么，有效数字有5位。

例3：取\(\pi\)近似值\(x_3=3.1415\)

\(|\pi-3.1415|=0.00009\cdots<0.0005=\frac{1}{2}\times10^{-3}\)

那么，有效数字有4位。

例4：\(x^*=-0.045113,x=-0.04518\)，问\(x^*\)具有几位有效数字？

\(|-0.0045113-(-0.04518)|=0.000067<0.0005=\frac{1}{2}\times10^{-3}\)

那么，有效数字有2位。

实际操作：若\(\frac{1}{2}\times10^{-n}\)，则从小数点后第n位向前数（含第n位）。

在做“比较两算法的近似值”的题目时，直接求两算法的误差，即\(e(f(x_1,\cdots,x_n)),\quad e(g(x_1,\cdots,x_n))\)。

数值稳定性

定义：设有一个算法，如果初始数据有小的误差仅使最终结果产生小的误差，则称该算法是(数值)稳定的，否则称为(数值)不稳定的。

Horner算法例题：

设\(f(x)=2+(x-1)^2+2(x-1)^3+9(x-1)^4+7(x-1)^5\)，用Horner算法计算\(f(3),f'(3)\)

列表法，降幂排列，缺项补零

	7	9	2	1	0	2
\(x^*-a=2\)		14	46	96	194	388
	7	23	48	97	194	\(390=f(3)\)
\(x^*-a=2\)		14	74	244	682
	7	37	122	341	\(876=f'(3)\)