AcWing 883：高斯消元解线性方程组 ← 高斯-约旦消元法 + 普通高斯消元法
【题目来源】
【题目描述】
输入一个包含 n 个方程 n 个未知数的线性方程组。
方程组中的系数为实数。
求解这个方程组。
【输入格式】
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含 n+1 个实数，表示一个方程的 n 个系数以及等号右侧的常数。
【输出格式】
如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共 𝑛 行，其中第 𝑖 行输出第 𝑖 个未知数的解，结果保留两位小数。
注意：本题有 SPJ，当输出结果为 0.00 时，输出 -0.00 也会判对。在数学中，一般没有正零或负零的概念，所以严格来说应当输出 0.00，但是考虑到本题作为一道模板题，考察点并不在于此，在此处卡住大多同学的代码没有太大意义，故增加 SPJ，对输出 -0.00 的代码也予以判对。
如果给定线性方程组存在无数解，则输出 Infinite group solutions。
如果给定线性方程组无解，则输出 No solution。
【输入样例】
3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00
【输出样例】
1.00
-2.00
3.00
【数据范围】
1≤n≤100，所有输入系数以及常数均保留两位小数，绝对值均不超过 100。
【算法分析】
● 普通高斯消元法：目标 → 上三角矩阵（特点：左下角全 0；右上角保留系数；需要回代。）
对角线下方全部清 0，对角线上可以不是 1（当然我们这里做了归一，对角元变成了 1） 。此矩阵对应的 LaTex 代码如下所示。
\begin{bmatrix}
1& *& *& |& *\\
0& 1& *& |& *\\
0& 0& 1& |& *
\end{bmatrix}
普通高斯消元法（Gaussian Elimination） 是一种用于求解线性方程组的经典算法，也是线性代数中最基础的工具之一。它通过一系列初等变换，将增广矩阵化为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵，从而求出方程组的解。
普通高斯消元法的本质是系统地消除未知数，将复杂的方程组转化为更容易求解的形式。整个过程分为两个阶段：
（1）前向消元（Forward Elimination）：将矩阵化为上三角矩阵（行阶梯形）。
（2）回代求解（Back Substitution）：从最后一个方程开始，逐个求解未知数。
● 高斯-约旦消元法：目标 → 最简行阶梯（对角矩阵）（特点：除主对角线是 1，其余系数位置都是 0；最后一列直接就是解，不用回代。）
对角线以外全部清 0，对角元强制为 1。 。此矩阵对应的 LaTex 代码如下所示。
\begin{bmatrix}
1& 0& 0& |& x_1\\
0& 1& 0& |& x_2\\
0& 0& 1& |& x_3
\end{bmatrix}高斯-约旦消元法，属于普通高斯消元法的变种，初等行变换不变，但是目标不是上三角，而是最简行阶梯形（对角矩阵）。即：
主元位置化为 1，本列其余所有元素（主元上面、下面）全部消为 0。
变换完成后，增广矩阵最后一列直接就是方程组的解，不需要回代。
● “高斯-约旦消元法”核心代码解析（）
（一）选主元
int idx=r;
for(int i=r; i<n; i++) {
if(fabs(a[i][c])>fabs(a[idx][c])) idx=i;
}从第 r 行开始，往下找第 c 列上绝对值最大的那个元素。
idx 记录绝对值最大的行号。
为什么要找绝对值最大的？—— 减小浮点误差。
（二）判断是否跳过该列？
if(fabs(a[idx][c])<eps) continue;如果找到的最大值都接近于 0，说明这一列全是 0。
这个未知数在当前剩余的方程中不存在，直接跳过该列（它可能是自由变量）。
continue 跳过后面的代码，进入下一列，但 r 不变（还没找到新的主元）。
（三）交换到当前行
swap(a[r],a[idx]);把找到的主元行（第 idx 行）换到第 r 行。
swap(a[r], a[idx]) 交换的是整行，包括常数项。
（四）归一化
double div=a[r][c];
for(int j=c; j<=n; j++) a[r][j]/=div;div 就是主元的值。
把第 r 行的所有元素（从第 c 列到第 n 列，含常数项）都除以 div。
结果：主元变成了 1，这一行其他元素相应缩放。
（五）消去其他行
for(int i=0; i<n; i++) {
if(i!=r && fabs(a[i][c])>eps) {
double val=a[i][c];
for(int j=c; j<=n; j++) {
a[i][j]-=val*a[r][j];
}
}
}对所有行（不只是下面的行），如果第 c 列不为 0，就消掉它。
val = a[i][c] 是第 i 行第 c 列的当前值。
a[i][j] -= val * a[r][j] 就是用第 r 行（归一化后主元为 1）去消。
消完后，第 i 行的第 c 列变成 0。
注意：这里消的是所有行（包括上面的），这是高斯-约旦消元法的特点，直接得到对角矩阵，不用回代。
【算法代码一：高斯‑约旦消元法】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=105;
const double eps=1e-8;
double a[N][N];
int n;
int gauss() {
int r=0;
for(int c=0; c<n; c++) {
//1.Select pivot
int idx=r;
for(int i=r; i<n; i++) {
if(fabs(a[i][c])>fabs(a[idx][c])) idx=i;
}
if(fabs(a[idx][c])<eps) continue;
swap(a[r],a[idx]);
//2.Normalize the current row, and the pivot becomes 1
double div=a[r][c];
for(int j=c; j<=n; j++) a[r][j]/=div;
//3.Eliminate all rows
for(int i=0; i<n; i++) {
if(i!=r && fabs(a[i][c])>eps) {
double val=a[i][c];
for(int j=c; j<=n; j++) {
a[i][j]-=val*a[r][j];
}
}
}
r++;
}
for(int i=r; i<n; i++) { //No solution
if(fabs(a[i][n])>eps) return -1;
}
if(r<n) return 0; //Infinite solutions
return 1; //Unique solution
}
int main() {
cin>>n;
for(int i=0; i<n; i++) {
for(int j=0; j<=n; j++) {
cin>>a[i][j];
}
}
int t=gauss();
if(t==-1) cout<<"No solution\n";
else if(t==0) {
printf("Infinite group solutions\n");
} else {
for(int i=0; i<n; i++) printf("%.2lf\n",a[i][n]);
}
return 0;
}
/*
in:
3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00
out:
1.00
-2.00
3.00
*/【算法代码二：普通高斯消元法】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=105;
const double eps=1e-8;
double a[N][N];
int n;
int gauss() {
int r=0;
for(int c=0; c<n; c++) {
//1.Select pivot
int idx=r;
for(int i=r; i<n; i++) {
if(fabs(a[i][c])>fabs(a[idx][c])) idx=i;
}
if(fabs(a[idx][c])<eps) continue;
swap(a[r],a[idx]);
//2.Normalize the current row, and the pivot becomes 1
double div=a[r][c];
for(int j=c; j<=n; j++) a[r][j]/=div;
//3.Eliminate the following rows (Ordinary Gaussian)
for(int i=r+1; i<n; i++) {
if(fabs(a[i][c])>eps) {
double val=a[i][c];
for(int j=c; j<=n; j++) {
a[i][j]-=val*a[r][j];
}
}
}
r++;
}
for(int i=r; i<n; i++) { //No solution
if(fabs(a[i][n])>eps) return -1;
}
if(r<n) return 0; //Infinite solutions
//Ordinary Gaussian must perform back substitution
for(int i=n-1; i>=0; i--) {
for(int j=i+1; j<n; j++) {
a[i][n]-=a[i][j]*a[j][n];
}
}
return 1; //Unique solution
}
int main() {
cin>>n;
for(int i=0; i<n; i++) {
for(int j=0; j<=n; j++) {
cin>>a[i][j];
}
}
int t=gauss();
if(t==-1) cout<<"No solution\n";
else if(t==0) {
printf("Infinite group solutions\n");
} else {
for(int i=0; i<n; i++) printf("%.2lf\n",a[i][n]);
}
return 0;
}
/*
in:
3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00
out:
1.00
-2.00
3.00
*/
【参考文献】
浙公网安备 33010602011771号