“整数二分”悟道：破万千模板乱象，守两套核心纲常

​✅ 网上的“整数二分”模板纷繁杂乱，常常令人无所适从。究其根源，是大量资料把同一种思想下的不同写法混杂罗列，徒增迷惑。二分的内核其实十分纯粹：只要区间具备二段性，就取中点判定，舍弃不可能包含答案的一半，不断收敛范围。

✅ 所有二分问题，核心目标只有两类：
（1）模板A：找“第一个满足条件”的位置（××××√√√√√ → lower_bound）
特点：满足条件 → 保留 mid，ri=mid，不满足条件 → mid 以及左边全部扔掉，le=mid+1。

//目标：找到区间里【第一个满足check(mid)为true】的位置
int le=1,ri=n;
while(le<ri) {
    int mid=(le+ri)/2; //向下取整
    if(check(mid)) ri=mid; //mid满足条件，答案有可能就是mid，右边界缩到mid
    else le=mid+1; //mid不满足，答案一定在mid右边，mid舍弃
}
//循环结束le==ri，就是第一个满足条件的位置

（2）模板B：找“最后一个满足条件”的位置（√√√√√×××× → upper_bound）
特点：满足条件 → 保留 mid，le=mid，不满足条件 → mid 以及右边全部扔掉，ri=mid-1。

//目标：找到区间里【最后一个满足check(mid)为true】的位置
int le=1,ri=n;
while(le<ri) {
    int mid=(le+ri+1)/2; //向上取整，防止相邻死循环
    if(check(mid)) le=mid; //mid满足条件，答案有可能就是mid，左边界拉到mid
    else ri=mid-1; //mid不满足，答案一定在mid左边，mid舍弃
}
//循环结束le==ri，就是最后一个满足条件的位置

这两个“整数二分”模板，所有整数二分，全部都能归进去。别的五花八门的写法，都是变体，不用学。网上 while(le<ri) 和 while(le<=ri) 不是两套互相独立的玄学写法，只是不同编码习惯。建议固定只用 while(le<ri) 这套框架，逻辑统一，降低记忆和出错成本。

✅ 以后写整数二分，先问两个问题：
（1）要找第一个满足，还是最后一个满足？（选A模板还是选B模板）。
（2）check(mid) 满足条件是什么？（自己写 >=、<=、>、< 等可行性判断）。

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✅ 浮点数二分完全是另一个逻辑，简单很多。

//浮点数二分，求根、实数答案
double le=0, ri=1e9;
while(ri-le>1e-6) { //循环结束条件由精度决定
    double mid=(le+ri)/2;
    if(check(mid)) ri=mid;
    else le=mid;
}

（1）与整数二分不同，浮点数二分无需处理边界问题（如 ±1），直接赋值即可。
（2）浮点数二分需设定终止条件（如 while(ri-le>=1e-6) ），通常比题目要求精度高 2 位。过高可能导致死循环，过低则精度不足。
（3）浮点数二分代码模板（数据类型必须使用 double 而非 int，避免计算溢出或精度丢失）。
 

 

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