洛谷 P2347：[NOIP 1996 提高组] 砝码称重 ← 普通母函数

​​【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P2347

【题目描述】
设有 1g、2g、3g、5g、10g、20g 的砝码各若干枚（其总重 ≤1000），可以表示成多少种重量？

【输入格式】
输入方式：a1，a2，a3，a4，a5，a6（表示 1g 砝码有 a1 个，2g 砝码有 a2 个，…，20g 砝码有 a6 个）

【输出格式】
输出方式：Total=N（N 表示用这些砝码能称出的不同重量的个数，但不包括一个砝码也不用的情况）

【输入样例】
1 1 0 0 0 0

【输出样例】
Total=3

【数据范围】
总重 ≤1000

【算法分析】
● 对于序列 a₀，a₁，a₂，…，构造函数 G(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … = ∑aₙxⁿ，称为序列 {aₙ} 的普通母函数（Ordinary Generating Function, OGF）。其中 xⁿ 的系数 aₙ 就是要计数的“大小为 n 的方案数”，n∈[0, ∞)。
● 普通母函数只适用于组合问题（顺序无关），不能处理排列问题（顺序有关）。如果要处理排列问题，就要使用指数型母函数 EGF（Exponential Generating Function, EGF），此时 G(x) = ∑aₙxⁿ/n!。

【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MX=1e3+5;
int c1[MX],c2[MX];
int w[]= {1,2,3,5,10,20};
int cnt[6];

int main() {
    for(int i=0; i<6; i++) {
        cin>>cnt[i];
    }

    c1[0]=1; //初始：什么都不选，x^0系数为1
    int curMax=0; //当前多项式最高次
    for(int i=0; i<6; i++) {
        int wi=w[i]; //当前砝码重量
        int ni=cnt[i]; //当前砝码个数
        for(int j=0; j<=curMax; j++) {
            if(c1[j]==0) continue;
            for(int k=0; k<=ni; k++) {
                c2[j+k*wi]+=c1[j];
            }
        }

        //更新当前多项式和最高次
        curMax+=ni*wi;
        for(int j=0; j<=curMax; j++) {
            c1[j]=c2[j];
            c2[j]=0;
        }
    }

    //统计能称出的不同重量（不包括0）
    int ans=0;
    for(int i=1; i<=curMax; i++) {
        if(c1[i]>0) ans++;
    }
    cout<<"Total="<<ans<<endl;

    return 0;
}

/*
in:
1 1 0 0 0 0

out:
Total=3
*/

【参考文献】
https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P2347
 

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