洛谷 P8557：炼金术（Alchemy）← 快速幂 + 组合

【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P8557

【题目描述】
铃是一个爱玩游戏的女孩子。
她在游戏中想要炼制一种稀有合金 —— 这需要 n 种金属来合成。
她准备好矿石后建造了 k 个不同的熔炉，当熔炉启动时，会随机炼出这 n 种金属中的一些（也可能什么都没有）。
如果把每个熔炉炼出的金属收集起来，有了全部 n 种金属，就能造出合金了。澪对此很好奇，对铃说：「我考考你，有多少种情况可以炼出合金呢？」这个简单的问题铃很快就会做了，你能求出结果吗？
答案可能很大，请对 998244353 取模（即除以 998244353 的余数）后输出。

【输入格式】
输入一行两个正整数 n,k。​​​​​​​

【输出格式】
输出一行一个整数，表示答案。​​​​​​​

【输入样例】
233 123​​​​​​​

【输出样例】
81633405​​​​​​​

【数据范围】
对于 30% 的数据，1≤n,k≤10；
对于 80% 的数据，1≤n,k≤10^6；
对于 100% 的数据，1≤n,k≤10^9。

【算法分析】
● 对于任意一种金属，它可以被任意 1∼k 个熔炉所造出来，方案总数为：
C(k,1)+C(k,2)+C(k,3)+⋯⋯+C(k,k−1)+C(k,k)=2^k-1
现在有 n 种金属，每一种金属有 2^k-1 种方法，总方案数为 (2^k-1)^n，配上快速幂模板即可。

● 快速幂经典代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
int fastPow(LL a,LL n) {
    LL ans=1;
    while(n){
        if(n & 1) ans=ans*a;
        n>>=1;
        a=a*a;
    }
    return ans;
}
 
int main() {
    int a,n;
    cin>>a>>n;
    cout<<fastPow(a,n)<<endl;
}
 
/*
in:6 8
out:1679616
*/

● 带取模的快速幂代码
计算过程中，为了防止溢出，需要进行“取模”运算，其运算规则如下：
(a+b)%p=(a%p+b%p)%p
(a-b)%p=(a%p-b%p)%p
(a*b)%p=(a%p*b%p)%p

【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int p=998244353;

LL qpow(LL a,LL n) {
    LL ans=1;
    while(n) {
        if(n & 1) ans=ans*a%p;
        a=a*a%p;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

int main() {
    int n,k;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    printf("%lld",qpow(qpow(2,k)-1,n));

    return 0;
}

/*
in:233 123
out:81633405
*/

【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/143135845


 

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