洛谷 P3024：[USACO11OPEN] Cow Checkers S ← 威佐夫博弈

​【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P3024

【题目描述】
有一天，Bessie 准备玩一个叫做奶牛跳棋的游戏，来挑战 Farmer John。这个游戏的棋盘大小为 M×N。
最初棋盘上只有一个棋子在 (X,Y)，棋盘的左下角坐标是 (0,0)，右上角的坐标是 (M−1,N−1)。每次游戏 Bessie 都是先手，之后两个人轮流进行操作。每次操作可以在以下三种移动中选择一种：
（1）向左走任意步。
（2）向下走任意步。
（3）向左走 k 步然后向下走 k 步（k 为任意能保证不走出棋盘的正整数）。
首个无法操作的人为败者。
游戏共有 T 次，每次都会给出一个新的坐标 (X,Y)，请输出每一轮胜者的名字。

【输入格式】
第 1 行，两个用空格隔开的正整数，代表 M 和 N。
第 2 行，一个正整数代表 T。
第 3 行到第 (T+2) 行，分别有两个空格隔开的非负整数，代表 X，Y。​​​​​​​

【输出格式】
共 T 行，每一行输出那一轮的胜者。​​​​​​​

【输入样例】
3 3 
1 
1 1

【输出样例】
Bessie

【数据范围】
保证 1≤M,N≤10^6，0≤X<M，0≤Y<N，1≤T≤10^3。

【算法分析】
● “洛谷 P3024 [USACO11OPEN] Cow Checkers S”本质就是威佐夫博弈的“棋盘平移版”。
这是因为，把两维坐标 (x, y) 看成两堆石子数量，棋子在 (x, y)，每次可以在以下三种操作中选择一种。
（1）向左走任意步 → x 减小（对应从一堆取石子）
（2）向下走任意步 → y 减小（对应从另一堆取石子）
（3）向左走 k 步然后向下走 k 步 → x-=k, y-=k（对应两堆同时取 k 个）
谁先到 (0,0) 谁赢。

● 威佐夫博弈是一种两堆石子的公平组合博弈，双方轮流操作，既可以从任意一堆取走至少一颗石子，也可以从两堆同时取走同等数量的石子，取走最后一颗石子者获胜。威佐夫博弈的先手必败态，也就是奇异局势，可以由黄金分割比 φ=(1+sqrt(5))/2 刻画。即对于局面 (a,b)，设 a≤b，两堆石子的差值为 k=b-a，若 ⌊k・φ⌋ 等于较小数 a，则该局面为先手必败态，否则先手必胜。

● 黄金分割比 φ 是无理数，浮点数无法保存其精确值，只能保存近似值。当差值 k 很大时，乘法运算会把浮点数的微小固有误差放大。即 k・φ 的浮点计算结果会略低于数学上的真实整数。同时，C++ 强制类型转换（long long）对浮点数采取直接截断小数部分的规则，并不会四舍五入，此时就会得到比正确值小 1 的整数，造成答案错误（WA）。因此本题本题采用 long double 配合 sqrtl()，提升有效存储位数，将误差压缩到不会改变整数部分的范围，以此通过全部测试数据。
例如，k・φ 的数学真值为 100000000.00000000，受浮点近似误差影响，计算机计算得到 99999999.99999998。此外，C++ 的 (long long) 强制转换直接截断小数部分，于是 (long long)(99999999.99999998) 得到 99999999，最终算出的  ⌊k・φ⌋ 相比真实数学结果少 1，导致判题错误。
补充备注：该现象不是 double 一定会发生，是大数场景下有概率发生。long double 也不是绝对无误差，只是本题数据范围下误差不足以改变整数部分。

【算法代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);

    int m,n,T;
    cin>>m>>n>>T;
    while(T--) {
        LL a,b;
        cin>>a>>b;
        if(a>b) swap(a,b);
        long double phi=(1.0L+sqrtl(5.0L))/2.0L;
        LL k=(LL)((b-a)*phi);
        if(k==a) cout<<"Farmer John\n";
        else cout<<"Bessie\n";
    }
    return 0;
}

/*
in:
3 3
1
1 1

out:
Bessie
*/

【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/163782250
https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P3024

​