HDU 1846：Brave Game ← SG 函数 + 巴什博奕（Bash Game）

【题目来源】
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1846

【题目描述】
十年前读大学的时候，中国每年都要从国外引进一些电影大片，其中有一部电影就叫《勇敢者的游戏》（英文名称：Zathura），一直到现在，我依然对于电影中的部分电脑特技印象深刻。
今天，大家选择上机考试，就是一种勇敢（brave）的选择；这个短学期，我们讲的是博弈（game）专题；所以，大家现在玩的也是“勇敢者的游戏”，这也是我命名这个题目的原因。
当然，除了“勇敢”，我还希望看到“诚信”，无论考试成绩如何，希望看到的都是一个真实的结果，我也相信大家一定能做到的~
各位勇敢者要玩的第一个游戏是什么呢？很简单，它是这样定义的：
1、  本游戏是一个二人游戏;
2、  有一堆石子一共有n个；
3、  两人轮流进行;
4、  每走一步可以取走1…m个石子；
5、  最先取光石子的一方为胜；
如果游戏的双方使用的都是最优策略，请输出哪个人能赢。

【输入格式】
输入数据首先包含一个正整数C(C<=100)，表示有C组测试数据。
每组测试数据占一行，包含两个整数n和m（1<=n,m<=1000），n和m的含义见题目描述。

【输出格式】
如果先走的人能赢，请输出“first”，否则请输出“second”，每个实例的输出占一行。

【输入样例】
2
23 2
4 3​​​​​​​

【输出样例】
first
second

【数据范围】
C<=100，
1<=n,m<=1000

【算法分析】
● 巴什博弈（Bash game）是一种涉及 2 名玩家的双人博弈，属于公平组合游戏（ICG）的典型例子。 博弈中有一堆总数为 n 的物品，2 名玩家轮流从中拿取物品，每次至少拿 1 件，至多拿 m 件，不能不拿，最终将物品拿完者获胜。
（1）n≤m 时，由于一次最少拿一个，最多拿 m 个，甲可以一次拿完，先手赢。
（2）n=m+1 时，无论甲拿走多少个 （1~m 个），剩下的都多于 1 个且少于或等于 m 个，乙都能一次拿走剩余的石子，后手取胜。

● Bash 博弈胜负判定（每次取 1～m 个，取走最后一个石子的胜）
（1）如果 n%(m+1) == 0，即 n 是 m+1 的整数倍，那么不管甲拿多少（记作 k，其中 1≤k≤m），乙都拿 m+1-k 个，使剩下的永远是 m+1 的整数倍，直到最后的 m+1 个，所以后拿的乙一定赢（后手赢）。
（2）如果 n%(m+1) != 0，即 n 不是 m+1 的整数倍，还有余数 r，那么甲拿走 r 个，剩下的是 m+1 的倍数，这样就转移到了情况（1），相当于甲乙互换，结果是先拿的甲赢（先手赢）。

【算法代码一：SG函数写法】
注意：当 n<10^4 时，如下 SG 函数写法的代码是安全的。否则，极易触发 Segmentation Fault 及 TLE。

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N=1e3+5;
int sg[N];
bool st[N];

void SG(int n,int m) {
    sg[0]=0;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        memset(st,0,sizeof st);
        for(int j=1; j<=m && j<=i; j++) {
            st[sg[i-j]]=true;
        }

        int mex=0;
        while(st[mex]) mex++;
        sg[i]=mex;
    }
}

int main() {
    int T;
    cin>>T;
    while(T--) {
        int n,m;
        cin>>n>>m;
        SG(n,m);
        if(sg[n]!=0) cout<<"first\n";
        else cout<<"second\n";
    }
    return 0;
}

/*
in:
2
23 2
4 3

out:
first
second
*/

【算法代码二：非SG函数写法】

#include <iostream>
using namespace std;
 
int main() {
    int T;
    cin>>T;
    while(T--) {
        int n,m;
        cin>>n>>m;
        if(n%(m+1)==0) {
            cout<<"second\n";
        } else cout<<"first\n";
    }
    return 0;
}
 
/*
in:
2
23 2
4 3

out:
first
second
*/

【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/163572528
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/158802453