东方博宜OJ 2052：图的 dfs 遍历 → 引出 DFS 序及欧拉序
【题目来源】
【题目描述】
一个有 n 个结点的无向连通图，这些结点以编号 1，2，...，n 进行编号，现给出结点间的连接关系。
请以结点 1 为起点，按 dfs（深度优先搜索）、优先访问小编号结点的顺序遍历并输出该图。
【输入格式】
第一行为两整数，n 和 e，表示 n 个顶点，e 条边。（2≤n,e≤10）
以下 e 行每行两个数，表示两个结点是连通的。
【输出格式】
只有一行，为按照优先访问小编号结点的 dfs 的结果。
【输入样例】
5 7
1 2
1 3
1 4
2 4
2 5
3 5
4 5
【输出样例】
1 2 4 5 3
【数据范围】
2≤n,e≤10
【算法分析】
● 本题是一道“图的 dfs 遍历”的题目，虽然给出了其代码。但我求解此题的目的是在深度优先搜索（DFS）的代码基础上引出 DFS 序和欧拉序的代码。
● DFS 序和欧拉序是树结构序列化最常用的两种方法。它们在树上莫队、树链剖分、子树统计等问题中经常出现。
● DFS 序和欧拉序的代码，与 DFS（深度优先搜索） 的代码差别不大。
（1）求解本题的 DFS 序代码（相比于深度优先搜索代码引入了时间戳数组 ts[] 及变量 idx）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=15;
vector<int> g[N];
bool st[N];
int n,m;
int ts[N],idx;
void dfs(int u,int fa) {
ts[u]=++idx; //timestamp
st[u]=true;
for(int i=0; i<g[u].size(); i++) {
int t=g[u][i];
if(!st[t]) dfs(t,u);
}
}
int main() {
cin>>n>>m;
while(m--) {
int x,y;
cin>>x>>y;
g[x].push_back(y);
g[y].push_back(x);
}
for(int i=1; i<=n; i++) {
sort(g[i].begin(),g[i].end());
}
dfs(1,-1);
for(int i=1; i<=n; i++) {
cout<<"ts["<<i<<"]="<<ts[i]<<endl;
}
return 0;
}
/*
in:
5 7
1 2
1 3
1 4
2 4
2 5
3 5
4 5
out:
ts[1]=1
ts[2]=2
ts[3]=5
ts[4]=3
ts[5]=4
*/
（2）求解本题的欧拉序代码（相比于深度优先搜索代码引入了 euler[]、in[]、out[] 数组及变量 idx）
euler[]：存储完整的长度为 2n 的欧拉序列（本体）
in[]：记录每个节点的入栈位置（用于确定区间左/右端点）
out[]：记录每个节点的出栈位置（非祖孙路径时左端点用 out[u]）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=15;
//Euler tour array, length=2n
int euler[N<<1];
int in[N],out[N];
vector<int> g[N];
bool st[N];
int n,m;
int idx;
void ola(int u,int fa) {
euler[++idx]=u; //record on entry
in[u]=idx; //entry timestamp
st[u]=true;
for(int i=0; i<g[u].size(); i++) {
int t=g[u][i];
if(!st[t]) ola(t,u);
}
euler[++idx]=u; //record on exit
out[u]=idx; //exit timestamp
}
int main() {
cin>>n>>m;
while(m--) {
int x,y;
cin>>x>>y;
g[x].push_back(y);
g[y].push_back(x);
}
for(int i=1; i<=n; i++) {
sort(g[i].begin(),g[i].end());
}
ola(1,-1);
for(int i=1; i<=2*n; i++) {
cout<<euler[i]<<" ";
}
return 0;
}
/*
in:
5 7
1 2
1 3
1 4
2 4
2 5
3 5
4 5
out:
1 2 4 5 3 3 5 4 2 1
*/基于本题样例，其欧拉序的求解过程如下所示：
基于本题样例，邻接表排序后：
g[1] = [2, 3, 4]
g[2] = [1, 4, 5]
g[3] = [1, 5]
g[4] = [1, 2, 5]
g[5] = [2, 3, 4]
基于上述邻接表，本题欧拉序求解过程如下所示：
----------------------------------------------------------------------------------
步骤 当前节点 操作 欧拉序 栈状态
1 1 入栈 [1] [1]
2 1→2 入栈 [1, 2] [1, 2]
3 2→4 入栈 [1, 2, 4] [1, 2, 4]
4 4→5 入栈 [1, 2, 4, 5] [1, 2, 4, 5]
5 5→3 入栈 [1, 2, 4, 5, 3] [1, 2, 4, 5, 3]
6 3 出栈 [1, 2, 4, 5, 3, 3] [1, 2, 4, 5]
7 5 出栈 [1, 2, 4, 5, 3, 3, 5] [1, 2, 4]
8 4 出栈 [1, 2, 4, 5, 3, 3, 5, 4] [1, 2]
9 2 出栈 [1, 2, 4, 5, 3, 3, 5, 4, 2] [1]
10 1 出栈 [1, 2, 4, 5, 3, 3, 5, 4, 2, 1] []
----------------------------------------------------------------------------------【算法代码】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=15;
vector<int> g[N];
bool st[N];
int n,m;
void dfs(int u,int fa) {
cout<<u<<" ";
st[u]=true;
for(int i=0; i<g[u].size(); i++) {
int t=g[u][i];
if(!st[t]) dfs(t,u);
}
}
int main() {
cin>>n>>m;
while(m--) {
int x,y;
cin>>x>>y;
g[x].push_back(y);
g[y].push_back(x);
}
for(int i=1; i<=n; i++) {
sort(g[i].begin(),g[i].end());
}
dfs(1,-1);
return 0;
}
/*
in:
5 7
1 2
1 3
1 4
2 4
2 5
3 5
4 5
out:
1 2 4 5 3
*/
【参考文献】
浙公网安备 33010602011771号