洛谷 P3901：数列找不同 ← 基础莫队算法
【题目来源】
【题目描述】
现有数列 A1，A2，…，AN，Q 个询问 (Li，Ri)，询问 A_Li，A_{Li+1}，…，A_Ri 是否互不相同。
【输入格式】
第一行，两个整数 N，Q。
第二行，N 个整数 A1，A2，…，AN。
接下来 Q 行，每行两个整数 Li，Ri。
【输出格式】
对每个询问输出一行，Yes 或 No。
【输入样例】
4 2
1 2 3 2
1 3
2 4
【输出样例】
Yes
No
【数据范围】
对于 50% 的数据，N,Q≤10^3。
对于 100% 的数据，1≤N,Q≤10^5，1≤Ai≤N，1≤Li≤Ri≤N。
【算法分析】
● 基础莫队算法（Mo's Algorithm）是一种经分块排序优化的增量暴力算法。它不依赖线段树、树状数组等高级数据结构，而是将分块思想与暴力枚举巧妙融合，填补了传统暴力算法在处理大规模离线区间统计问题时的效率空白。
显然，基础莫队算法是一种暴力算法，但它不是 O(n²) 的原始暴力，而是用分块排序把原始暴力摊成 O(n√n) 的暴力，即所谓“优雅的暴力”。其绝大部分时间开销，来源于指针移动所触发的单点增删与答案更新操作。
● 基础莫队算法中的「指针移动」，就是维护当前活跃区间 [L, R]，按离线排序后的询问顺序，每次将 L、R 分别向目标询问的 le、ri 靠拢。移动过程中：
（1）R<ri 时，右指针右移（R++），再加入新右端元素 a[R]；
（2）L>le 时，左指针左移（L--），再加入新左端元素 a[L]；
（3）R>ri 时，右指针左移，删除原右端元素 a[R]，然后 R--。
（4）L<le 时，左指针右移，删除原左端元素 a[L]，然后 L++；
每步操作均以 O(1) 增量公式更新答案，直至当前区间与目标查询区间重合。
● 基础莫队算法的区间迁移与增量维护机制
基础莫队算法维护的两个指针 L、R，代表当前已维护的活跃区间 [L, R]。在处理经过分块排序的查询序列时：
（1）对于每条查询 [le, ri]，算法不会对每个查询独立重新计算，而是通过（L←L±1、R←R±1）不断移动左右指针，将当前区间逐步调整为目标区间 [le, ri]，利用相邻查询的重叠部分避免重复计算。
（2）每移动一步指针，只执行一次单点增/删操作：将一个新元素加入区间，或从区间移除一个旧元素，并同步更新当前答案。加入和删除互为逆运算，这是莫队能够高效维护答案的关键。
（3）指针移动习惯上遵循先扩后缩的稳健原则：优先移动右指针 R 向右扩展，再移动左指针 L 调整左边界，避免指针交错导致区间无效。
while(ri<q[i].ri) add(++ri);
while(le>q[i].le) add(--le);
while(ri>q[i].ri) del(ri--);
while(le<q[i].le) del(le++);
● 基础莫队算法与分块的联系
基础莫队算法里的分块是调度策略，不是数据存储结构。基础莫队算法是基于分块思想构建的离线区间查询优化算法，分块为其提供排序依据与复杂度保障，两者关系可概括为"基础莫队算法=离线处理+分块排序+暴力转移"。
（1）离线处理：预先载入所有查询，不支持在线即时回答。
（2）分块排序：将原序列按 √n 大小分块，对查询进行多级排序（多级排序：以查询左端点所属块编号作为第一关键字，同一块内部以区间右端点作为第二关键字排序）。
（3）暴力转移：移动左右指针、单点增删元素、增量更新区间答案的过程。
● 奇偶性排序
基础莫队算法的核心思想是借助分块策略重排查询，规范指针移动次序，把总移动代价限制在 O(n√n)。朴素分块排序难以规避跨块时指针长途折返，奇偶排序是重要的常数优化技巧，用以减少这类无效移动。具体策略如下：
（1）首先，将长度为 n 的序列分成 sqrt(n) 个块；
（2）然后，将所有询问按左端点 L 所在块的编号为第一关键字排序。对于左端点位于同一块内的询问，采用奇偶性排序决定右端点 R 的次序。即，若该块编号为奇数，则右端点 R 从小到大排序；若该块编号为偶数，则右端点 R 从大到小排序。
● 为什么不同块内无需奇偶优化？
（1）基础莫队算法的核心逻辑是“先按块定序，再按右端点调序”。不同块之间的排序仅依赖左端点所在块的编号这一关键字，不引入任何翻转策略。
（2）在莫队算法的标准实现中，奇偶优化（或称翻转排序）的作用域严格限定在同一块内，作为第二关键字的生成规则：奇数块右端点升序，偶数块右端点降序。跨块层级不应也不能应用奇偶优化。
● 基础莫队算法的核心几何模型
（1）点映射：每个询问区间 [L,R] 对应平面直角坐标系中一点（L,R)，且满足 L≤R（点分布在对角线上方区域）。
（2）代价定义：从当前区间 [L1,R1] 转移到目标区间 [L2,R2] 的移动代价等于两点间的曼哈顿距离：|L1-L2|+|R1-R2|，即指针 L 和 R 移动的总步数。
（3）问题本质：莫队算法的几何解释是将每个区间询问 [L,R] 映射为二维平面上的点 (x,y)=(L,R)，回答所有询问等价于在点集之间移动指针，移动开销等于两点间曼哈顿距离。想要得到全局最小移动总代价是 NP 难问题，故莫队使用分块贪心排序。
● 分块排序的几何意义
（一）空间划分：将横轴 L 按块大小 B≈sqrt(n) 划分成若干垂直条带（方格列），同一条带内的点 L 坐标相近。
（二）遍历策略
（1）先按 L 所在块编号升序遍历（从左向右扫描条带）；
（2）同一块内按 R 升序排列（在条带内自下而上单调移动）；
（3）结合奇偶优化：偶数块 R 升序、奇数块 R 降序，形成“蛇形”扫描，减少块间切换时 R 的回跳距离。
【算法代码】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e5+5;
int a[N],cnt[N];
bool ans[N];
LL cur;
int block,n,m;
struct Node {
int le,ri,idx;
} q[N];
bool cmp(Node a,Node b) {
if(a.le/block != b.le/block) {
return a.le<b.le;
}
//odd-even optimization
if(a.le/block & 1) return a.ri>b.ri;
else return a.ri<b.ri;
}
void add(int x) {
int val=a[x];
cur+=2*cnt[val]+1;
cnt[val]++;
}
void del(int x) {
int val=a[x];
cnt[val]--;
cur-=2*cnt[val]+1;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cin>>n>>m;
for(int i=1; i<=n; i++) {
cin>>a[i];
}
block=sqrt(n);
for(int i=0; i<m; i++) {
cin>>q[i].le>>q[i].ri;
q[i].idx=i;
}
sort(q,q+m,cmp);
int le=1,ri=0;
for(int i=0; i<m; i++) {
while(ri<q[i].ri) add(++ri);
while(le>q[i].le) add(--le);
while(ri>q[i].ri) del(ri--);
while(le<q[i].le) del(le++);
int len=q[i].ri-q[i].le+1;
ans[q[i].idx]=(cur==len);
}
for(int i=0; i<m; i++) {
if(ans[i]) cout<<"Yes\n";
else cout<<"No\n";
}
return 0;
}
/*
in:
4 2
1 2 3 2
1 3
2 4
out:
Yes
No
*/
【参考文献】
浙公网安备 33010602011771号