洛谷 P1494：[国家集训队] 小 Z 的袜子 ← 基础莫队算法
【题目来源】
【题目描述】
作为一个生活散漫的人，小 Z 每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小 Z 再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小 Z 把这 N 只袜子从 1 到 N 编号，然后从编号 L 到 R 的袜子中随机选出两只来穿。尽管小 Z 并不在意两只袜子是不是完整的一双，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小 Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小 Z 希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个 (L,R) 以方便自己选择。
然而数据中有 L=R 的情况，请特判这种情况，输出0/1。
【输入格式】
输入文件第一行包含两个正整数 N 和 M。N 为袜子的数量，M 为小 Z 所提的询问的数量。接下来一行包含 N 个正整数 Ci，其中 Ci 表示第 i 只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来 M 行，每行两个正整数 L,R 表示一个询问。
【输出格式】
包含 M 行，对于每个询问在一行中输出分数 A/B 表示从该询问的区间 [L,R] 中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为 0 则输出 0/1，否则输出的 A/B 必须为最简分数。（详见样例）
【输入样例】
6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6
【输出样例】
2/5
0/1
1/1
4/15
【数据范围】
30% 的数据中，N,M≤5000；
60% 的数据中，N,M≤25000；
100% 的数据中，N,M≤50000，1≤L≤R≤N,Ci≤N。
【算法分析】
● 基础莫队算法（Mo's Algorithm）是一种经分块排序优化的增量暴力算法。它不依赖线段树、树状数组等高级数据结构，而是将分块思想与暴力枚举巧妙融合，填补了传统暴力算法在处理大规模离线区间统计问题时的效率空白。
显然，基础莫队算法是一种暴力算法，但它不是 O(n²) 的原始暴力，而是用分块排序把原始暴力摊成 O(n√n) 的暴力，即所谓“优雅的暴力”。其绝大部分时间开销，来源于指针移动所触发的单点增删与答案更新操作。
● 基础莫队算法中的「指针移动」，就是维护当前活跃区间 [L, R]，按离线排序后的询问顺序，每次将 L、R 分别向目标询问的 le、ri 靠拢。移动过程中：
（1）R<ri 时，右指针右移（R++），再加入新右端元素 a[R]；
（2）L>le 时，左指针左移（L--），再加入新左端元素 a[L]；
（3）R>ri 时，右指针左移，删除原右端元素 a[R]，然后 R--。
（4）L<le 时，左指针右移，删除原左端元素 a[L]，然后 L++；
每步操作均以 O(1) 增量公式更新答案，直至当前区间与目标查询区间重合。
● 基础莫队算法的区间迁移与增量维护机制
基础莫队算法维护的两个指针 L、R，代表当前已维护的活跃区间 [L, R]。在处理经过分块排序的查询序列时：
（1）对于每条查询 [le, ri]，算法不会对每个查询独立重新计算，而是通过（L←L±1、R←R±1）不断移动左右指针，将当前区间逐步调整为目标区间 [le, ri]，利用相邻查询的重叠部分避免重复计算。
（2）每移动一步指针，只执行一次单点增/删操作：将一个新元素加入区间，或从区间移除一个旧元素，并同步更新当前答案。加入和删除互为逆运算，这是莫队能够高效维护答案的关键。
（3）指针移动习惯上遵循先扩后缩的稳健原则：优先移动右指针 R 向右扩展，再移动左指针 L 调整左边界，避免指针交错导致区间无效。
while(ri<q[i].ri) add(++ri);
while(le>q[i].le) add(--le);
while(ri>q[i].ri) del(ri--);
while(le<q[i].le) del(le++);
● 基础莫队算法与分块的联系
基础莫队算法里的分块是调度策略，不是数据存储结构。基础莫队算法是基于分块思想构建的离线区间查询优化算法，分块为其提供排序依据与复杂度保障，两者关系可概括为"基础莫队算法=离线处理+分块排序+暴力转移"。
（1）离线处理：预先载入所有查询，不支持在线即时回答。
（2）分块排序：将原序列按 √n 大小分块，对查询进行多级排序（多级排序：以查询左端点所属块编号作为第一关键字，同一块内部以区间右端点作为第二关键字排序）。
（3）暴力转移：移动左右指针、单点增删元素、增量更新区间答案的过程。
● 奇偶性排序
基础莫队算法的核心思想是借助分块策略重排查询，规范指针移动次序，把总移动代价限制在 O(n√n)。朴素分块排序难以规避跨块时指针长途折返，奇偶排序是重要的常数优化技巧，用以减少这类无效移动。具体策略如下：
（1）首先，将长度为 n 的序列分成 sqrt(n) 个块；
（2）然后，将所有询问按左端点 L 所在块的编号为第一关键字排序。对于左端点位于同一块内的询问，采用奇偶性排序决定右端点 R 的次序。即，若该块编号为奇数，则右端点 R 从小到大排序；若该块编号为偶数，则右端点 R 从大到小排序。
● 为什么不同块内无需奇偶优化？
（1）基础莫队算法的核心逻辑是“先按块定序，再按右端点调序”。不同块之间的排序仅依赖左端点所在块的编号这一关键字，不引入任何翻转策略。
（2）在莫队算法的标准实现中，奇偶优化（或称翻转排序）的作用域严格限定在同一块内，作为第二关键字的生成规则：奇数块右端点升序，偶数块右端点降序。跨块层级不应也不能应用奇偶优化。
● 基础莫队算法的核心几何模型
（1）点映射：每个询问区间 [L,R] 对应平面直角坐标系中一点（L,R)，且满足 L≤R（点分布在对角线上方区域）。
（2）代价定义：从当前区间 [L1,R1] 转移到目标区间 [L2,R2] 的移动代价等于两点间的曼哈顿距离：|L1-L2|+|R1-R2|，即指针 L 和 R 移动的总步数。
（3）问题本质：莫队算法的几何解释是将每个区间询问 [L,R] 映射为二维平面上的点 (x,y)=(L,R)，回答所有询问等价于在点集之间移动指针，移动开销等于两点间曼哈顿距离。想要得到全局最小移动总代价是 NP 难问题，故莫队使用分块贪心排序。
● 分块排序的几何意义
（一）空间划分：将横轴 L 按块大小 B≈sqrt(n) 划分成若干垂直条带（方格列），同一条带内的点 L 坐标相近。
（二）遍历策略
（1）先按 L 所在块编号升序遍历（从左向右扫描条带）；
（2）同一块内按 R 升序排列（在条带内自下而上单调移动）；
（3）结合奇偶优化：偶数块 R 升序、奇数块 R 降序，形成“蛇形”扫描，减少块间切换时 R 的回跳距离。
● 本题核心数学原理
题目要求：从区间 [L,R] 中随机抽取两只袜子，颜色相同的概率。
（1）组合数表示
区间长度为 len=R-L+1，从 len 只袜子中抽 2 只的总方案数为：C(len,2)=len×(len-1)/2
设区间内颜色 i 出现了 ci 次，则抽到两只颜色 i 的方案数为：C(ci,2)=ci×(ci-1)/2
（2）概率公式
所有颜色相同的方案数之和除以总方案数：P=∑C(ci,2)/C(len,2)=∑ci(ci-1)/[len(len-1)]
（3）化简分子
∑ci(ci-1)=∑(ci*ci-ci)=∑ci*ci-∑ci
注意 ∑ci=len（区间内所有颜色的出现次数之和等于区间长度），所以：∑ci(ci-1)=∑ci*ci-len
（4）最终公式
P=(∑ci*ci-len)/[len×(len−1)]
● 本题采用莫队算法如何维护 ∑ci*ci
（1）核心思想
莫队算法通过移动左右指针来维护当前区间，每次移动一个位置时，更新 ∑ci*ci 的值。
（2）加入一个元素
当在位置 x 加入一个颜色值为 a[x] 的元素时：
void add(int x) {
sum-=cnt[a[x]]*cnt[a[x]];
cnt[a[x]]++;
sum+=cnt[a[x]]*cnt[a[x]];
}加入前：cnt[a[x]] 为该颜色当前出现次数，加入后：cnt[a[x]]+1。
∑ci*ci 的变化量：Δ=(cnt[a[x]]+1)^2-cnt[a[x]]^2=2⋅cnt[a[x]]+1
（3）删除一个元素
当删除位置 x 的一个颜色值为 a[x] 的元素时：
void del(int x) {
sum-=cnt[a[x]]*cnt[a[x]];
cnt[a[x]]--;
sum+=cnt[a[x]]*cnt[a[x]];
}删除前：cnt[a[x]]为该颜色当前出现次数，删除后：cnt[a[x]]-1。
∑ci*ci 的变化量：Δ=cnt[a[x]]^2-(cnt[a[x]]-1)^2=2⋅cnt[a[x]]-1
【算法代码】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=5e4+5;
LL a[N],cnt[N];
LL up[N],down[N];
LL sum;
int n,m,block;
struct Node {
int le,ri,idx;
} q[N];
LL gcd(LL a,LL b) {
if(b==0) return a;
return gcd(b,a%b);
}
bool cmp(Node a,Node b) {
if(a.le/block!=b.le/block) {
return a.le<b.le;
}
return a.ri<b.ri;
}
void add(int x) {
sum-=cnt[a[x]]*cnt[a[x]];
cnt[a[x]]++;
sum+=cnt[a[x]]*cnt[a[x]];
}
void del(int x) {
sum-=cnt[a[x]]*cnt[a[x]];
cnt[a[x]]--;
sum+=cnt[a[x]]*cnt[a[x]];
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin>>n>>m;
for(int i=1; i<=n; i++) cin>>a[i];
block=sqrt(n);
for(int i=0; i<m; i++) {
cin>>q[i].le>>q[i].ri;
q[i].idx=i;
}
sort(q,q+m,cmp);
int le=1,ri=0;
for(int i=0; i<m; i++) {
while(ri<q[i].ri) add(++ri);
while(le>q[i].le) add(--le);
while(ri>q[i].ri) del(ri--);
while(le<q[i].le) del(le++);
LL len=q[i].ri-q[i].le+1;
LL u=sum-len; //u-numerator
LL d=len*(len-1); //d-denominator
if(u==0 || len==1) {
up[q[i].idx]=0;
down[q[i].idx]=1;
} else {
LL g=gcd(u,d);
up[q[i].idx]=u/g;
down[q[i].idx]=d/g;
}
}
for(int i=0; i<m; i++) {
cout<<up[i]<<"/"<<down[i]<<"\n";
}
return 0;
}
/*
in:
6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6
out:
2/5
0/1
1/1
4/15
*/
【参考文献】
浙公网安备 33010602011771号