洛谷 P3203：弹飞绵羊 ← 序列分块算法（单点更新、单点查询）
【题目来源】
【题目描述】
某天，Lostmonkey 发明了一种超级弹力装置，为了在他的绵羊朋友面前显摆，他邀请小绵羊一起玩个游戏。
游戏一开始，Lostmonkey 在地上沿着一条直线摆上 n 个装置，每个装置设定初始弹力系数 ki，当绵羊达到第 i 个装置时，它会往后弹 ki 步，达到第 i+ki 个装置，若不存在第 i+ki 个装置，则绵羊被弹飞。
绵羊想知道当它从第 i 个装置起步时，被弹几次后会被弹飞。为了使得游戏更有趣，Lostmonkey 可以修改某个弹力装置的弹力系数，任何时候弹力系数均为正整数。
【输入格式】
第一行包含一个整数 n，表示地上有 n 个装置，装置的编号从 0∼n−1。
接下来一行有 n 个正整数，依次为那 n 个装置的初始弹力系数。
第三行有一个正整数 m，表示操作次数。接下来 m 行每行至少有两个数 i,j。
（1）若 i=1，你要输出从编号为 j 的装置出发被弹几次后被弹飞
（2）若 i=2，则还会再输入一个正整数 k，表示编号为 j 的弹力装置的系数被修改成 k。
【输出格式】
对于每个 i=1 的操作，输出一行一个整数表示答案。
【输入样例】
4
1 2 1 1
3
1 1
2 1 1
1 1
【输出样例】
2
3
【算法分析】
● 题目同时存在大量查询与大量修改，纯暴力算法必然超时。下面代码提交洛谷测评时，4 个 AC，6 个 TLE（超时）。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
int a[N];
int n,m;
int query(int start) {
int steps=0;
int cur=start;
while(cur<n) {
cur=cur+a[cur];
steps++;
}
return steps;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin>>n;
for(int i=0; i<n; i++) cin>>a[i];
cin>>m;
while(m--) {
int op,x;
cin>>op>>x;
if(op==1) cout<<query(x)<<"\n";
else {
int k;
cin>>k;
a[x]=k;
}
}
return 0;
}
/*
in:
4
1 2 1 1
3
1 1
2 1 1
1 1
out:
2
3
*/
● 本题其实就是动态树 LCT 的模板题，这里用来练习分块。
● 分块算法（区间更新、区间查询）代码实例详见：
本例介绍各数组下标从 0 开始的分块算法（单点更新、单点查询）代码。
● 分块是用线段树的分区思想改良的暴力法。代码比线段树简单。效率比普通暴力法高。分块适合求解 m=n=10^5 规模的问题。或 m*sqrt(n)≈10^7 的问题。其中，n 为元素个数，m 为操作次数。
● 分块操作的基本要素
（1）块的大小用 block 表示。通常，令 block=sqrt(n)。其中，n 为元素个数。
（2）块的数量用 cnt 表示。计算块的数量的代码如下：
int block=sqrt(n);
int cnt=n/block;
if(n % block) cnt++;（3）块的左边界 le[] 及右边界 ri[]。
若用 le[i] 和 ri[i] 分别表示块 i 的第一个和最后一个元素的位置。
若下标从 1 开始，则有：
le[1]=1, ri[1]=block;
le[2]=block+1, ri[2]=2*block;
……
le[i]=(i-1)*block+1, ri[i]=i*block;
……若下标从 0 开始，则有：
le[0]=0, ri[0]=block-1;
le[1]=block, ri[1]=2*block-1;
……
le[i]=i*block, ri[i]=(i+1)*block-1;
……（4）定义 pos[i] 为第 i 个元素所在的块。
若下标从 1 开始，则有 pos[i]=(i-1)/block+1。其中，block=sqrt(n)。
若下标从 0 开始，则有 pos[i]=i/block。其中，block=sqrt(n)。
● update 函数的作用：当某个位置的弹力系数被修改后，重新计算它所在块内所有受影响位置的跳转信息。
step[i]：从 i 开始，直到第一次跳出 i 所在的块，一共需要多少步；
to[i]：执行完 step[i] 步后，到达的位置（可能在另一个块内，也可能超出 n 表示被弹飞）。 pos[i]：位置 i 所属的块编号。
le[i] / ri[i]：第 i 个块的左边界/右边界。
【算法代码】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;
int a[maxn],le[maxn],ri[maxn];
int pos[maxn];
int to[maxn],step[maxn];
int n,m;
void build(int n) {
int block=sqrt(n);
int cnt=n/block;
if(n%block) cnt++;
for(int i=0; i<cnt; i++) {
le[i]=i*block;
ri[i]=(i+1)*block-1;
}
ri[cnt-1]=n-1;
for(int i=0; i<n; i++) pos[i]=i/block;
}
void update(int L, int R) {
for(int i=R; i>=L; i--) {
if(i+a[i]>ri[pos[i]]) {
to[i]=i+a[i];
step[i]=1;
} else {
to[i]=to[i+a[i]];
step[i]=step[i+a[i]]+1;
}
}
}
int query(int x) {
int ans=0;
while(x<n) {
ans+=step[x];
x=to[x];
}
return ans;
}
int main() {
cin>>n;
for(int i=0; i<n; i++) cin>>a[i];
build(n), update(0,n-1);
cin>>m;
while(m--) {
int op,x,y;
cin>>op>>x;
if(op==1) cout<<query(x)<<endl;
else {
cin>>y;
a[x]=y;
update(le[pos[x]],ri[pos[x]]);
}
}
return 0;
}
/*
in:
4
1 2 1 1
3
1 1
2 1 1
1 1
out:
2
3
*/
【参考文献】
浙公网安备 33010602011771号