东方博宜OJ 1140：亲密数对 ← 约数的成对性

​【题目来源】
https://oj.czos.cn/p/1140

【题目描述】
键盘输入 N，N 在 2 至 2000 之间，求 2 至 N 中的亲密数对，就是 A 的因子和等于 B，B 的因子和等于 A，且 A≠B。如 48 和 75 是亲密数对。48 的因子和为 2+3+4+6+8+12+16+24=75，而 75 的因子和为 3+5+15+25=48。

【输入格式】
只有一行，为一个整数 N（2≤N≤2000）​​​​​​​

【输出格式】
输出若干行，每行两个整数（用一个空格隔开）。​​​​​​​

【输入样例】
200

【输出样例】
48 75
75 48
140 195
195 140​​​​​​​

【数据范围】
请注意，求出的亲密数对的 2 个数都不应该超过 n 的范围。

【算法分析】
● 什么是约数？设 a，b 为整数，且 b≠0。若存在整数 k，使得 a=k×b。则称 b 是 a 的约数（因数），记作 b|a。

● 约数的成对性：对于任意整数 x，如果 i 是 x 的约数，那么 x/i 也是 x 的约数。
证明：已知 i 是 x 的约数，故 x/i 是整数。又因为 x/(x/i)=i 为整数，故根据约数定义，知 x/i 是 x 的约数。

● 推论：若 x 存在大于 1 的约数，则一定存在一个不超过 sqrt(x) 的约数。
约数成对性在素数判定中的应用：假设 x 是合数，则存在一对约数 (a,b)，使得 a×b=x，2≤a≤b。显然，可由 a×a≤a×b=x^2 推出 a≤sqrt(x)，即合数 x 必然存在一个不超过 sqrt(x) 的真约数。所以，在素数判定问题中，只需要遍历 2 到 sqrt(x) 之间有没有能整除 x 的数就行，不用一直遍历到 x-1。

● 关键点说明：题目不包含 1 作为因子，只统计除自身外大于 1 的约数。

【算法代码一】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int factorSum(int x) {
    int sum=0;
    for(int i=2; i*i<=x; i++) {
        if(x%i==0) {
            sum+=i;
            if(i!=x/i) {
                sum+=x/i;
            }
        }
    }
    return sum;
}

int main() {
    int n;
    cin>>n;
    for(int a=2; a<=n; a++) {
        int b=factorSum(a);
        if(b>n) continue;
        int t=factorSum(b);
        if(t==a && a!=b) {
            cout<<a<<" "<<b<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

/*
in:
200

out:
48 75
75 48
140 195
195 140
*/

【算法代码二】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int factorSum(int x) {
    int sum=0;
    for(int i=2; i*i<=x; i++) {
        if(x%i==0) {
            sum+=i;
            if(i!=x/i) {
                sum+=x/i;
            }
        }
    }
    return sum;
}

int main() {
    int n;
    cin>>n;
    for(int a=2; a<=n; a++) {
        for(int b=2; b<=n; b++) {
            int sa=factorSum(a);
            int sb=factorSum(b);
            if(sa==b && sb==a && a!=b) {
                cout<<a<<" "<<b<<endl;
            }
        }
    }
    return 0;
}

/*
in:
200

out:
48 75
75 48
140 195
195 140
*/

【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/161994231
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/161995534
https://blog.csdn.net/liunian_curry/article/details/139721281

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