洛谷 P1595：信封问题 ← 错排列

​【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P1595

【题目描述】
某人写了 n 封信和 n 个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有信都装错信封共有多少种不同情况。

【输入格式】
一个信封数 n，保证 n≤20。

【输出格式】
一个整数，代表有多少种情况。​​​​​​​

【输入样例】
3

【输出样例】
2

【数据范围】
对于 100% 的数据，1≤n≤20。​​​​​​​

【算法分析】
● 错排（Derangement）问题是组合数学中的基本概念，指 n 个元素中的每个元素都不在其对应下标的位置上，即 ak≠k。其中，k∈[1,n]。
​​​​​​​例如：1 2 3 4的错排有: 4 3 2 1，4 1 2 3，4 3 1 2，3 4 1 2，3 4 2 1，2 4 1 3，2 1 4 3，3 1 4 2，2 3 4 1。

● 错排列公式：D(n)=(n-1)×(D(n-1)+D(n-2))，其中，D(1)=0，D(2)=1。
第一步，考虑第 n 个元素，把它放在某一个位置，比如位置 k，一共有 n-1 种放法；
第二步，考虑第 k 个元素，这时有两种情况：
（1）把它放到位置 n，那么对于除 n 以外的 n-1 个元素，由于第 k 个元素放到了位置 n，所以剩下 n-2 个元素的错排即可，有 D(n-2) 种放法；
（2）第 k 个元素不放到位置 n，这时对于这 n-1 个元素的错排，有 D(n-1) 种放法。 根据乘法和加法法则，综上可得：D(n)=(n-1)×(D(n-1)+D(n-2))。

● ​​​​​​​错排列公式：D(n)=nD(n-1)+(-1)^n，其中，D(1)=0。

【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long d(int n) {
    if(n==1) return 0;
    if(n==2) return 1;
    return (n-1)*(d(n-1)+d(n-2));
}

int main() {
    int n;
    cin>>n;
    cout<<d(n);

    return 0;
}

/*
in:3
out:2
*/

【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/156206151
https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P1595
 

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