洛谷 P1333：瑞瑞的木棍 ← 欧拉回路 + 并查集

​【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P1333

【题目描述】
瑞瑞有一堆的玩具木棍，每根木棍的两端分别被染上了某种颜色，现在他突然有了一个想法，想要把这些木棍连在一起拼成一条线，并且使得木棍与木棍相接触的两端颜色都是相同的，给出每根木棍两端的颜色，请问是否存在满足要求的排列方式。
例如，如果只有 2 根木棍，第一根两端的颜色分别为 red 和 blue，第二根两端的颜色分别为 red 和 yellow，那么 blue --- red | red --- yellow 便是一种满足要求的排列方式。

【输入格式】
输入有若干行，每行包括两个单词，表示一根木棍两端的颜色，单词由小写字母组成，且单词长度不会超过 10 个字母，最多有 250000 根木棍。​​​​​​​

【输出格式】
如果木棒能够按要求排列，输出 Possible，否则输出 Impossible。​​​​​​​

【输入样例】
blue red
red violet
cyan blue
blue magenta
magenta cyan

【输出样例】
Possible

【数据范围】
单词长度不会超过 10 个字母，最多有 250000 根木棍。​​​​​​​

【算法分析】
（一）这是一个图论问题，可以建模为无向图的欧拉路径/欧拉回路存在性问题。具体地，每个颜色是一个顶点，每根木棍是一条边，问题转化为：是否存在一条路径（或回路）能经过每条边恰好一次。这需要检查两个条件：
1. 连通性：所有边对应的顶点必须属于同一个连通分量。
2. 度（奇度数顶点数量）：
• 如果所有顶点的度都是偶数，则存在欧拉回路（从任意点出发可回到起点）。
• 如果恰好有两个顶点的度是奇数，则存在欧拉路径（从一个奇度点出发，另一个结束）。
• 其他情况（奇度顶点数不是 0 或 2）则不可能。
由于颜色用字符串表示，需用 map 或 unordered_map 映射为数字编号。并查集检查连通性。

（二）用 mp 将颜色字符串映射为整数编号（从 0 开始）。
• 每读入一根木棍（c1 c2），对应顶点 u 和 v 的度加 1，并在并查集中合并。
• 读完后，检查所有出现过的顶点是否连通（即属于同一个并查集）。
• 统计奇度顶点个数，若为 0 或 2 则输出 Possible，否则输出 Impossible。

【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=5e5+10;
int pre[N];
int du[N]= {0};

int find(int x) {
    if(x!=pre[x]) pre[x]=find(pre[x]);
    return pre[x];
}

void merge(int x,int y) {
    int a=find(x);
    int b=find(y);
    if(a!=b) pre[a]=b;
}

int main() {
    for(int i=0; i<N; i++) pre[i]=i;

    unordered_map<string,int> mp;
    int idx=0;
    string s1,s2;
    while(cin>>s1>>s2) {
        if(mp.find(s1)==mp.end()) mp[s1]=idx++;
        if(mp.find(s2)==mp.end()) mp[s2]=idx++;
        int u=mp[s1],v=mp[s2];
        du[u]++,du[v]++;
        merge(u,v);
    }

    int n=idx;
    if(n==0) {
        cout<<"Possible"<<endl;
        return 0;
    }

    int root=find(0);
    for(int i=1; i<n; i++) {
        if(find(i)!=root) {
            cout<<"Impossible"<<endl;
            return 0;
        }
    }

    int odd=0;
    for(int i=0; i<n; i++) {
        if(du[i]%2==1) odd++;
    }

    if(odd==0 || odd==2) {
        cout<<"Possible"<<endl;
    } else cout<<"Impossible"<<endl;

    return 0;
}

/*
in:
blue red
red violet
cyan blue
blue magenta
magenta cyan

out:
Possible
*/

【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/160909877
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/160888941
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/149031663
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/140747624


 

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