快速幂与模逆元：基于费马小定理

​【算法解析】
● 费马小定理：若 p 为质数，且整数 a 满足 gcd(a,p)=1，则 aᵖ⁻¹≡1 (mod p)。
费马小定理表明，在模质数 p 下，a 的 p-1 次幂同余于 1。

● 快速幂与模逆元的联系（a⁻¹ ≡ aᵖ⁻² (mod p)，其中 p 为质数）
（1）逆元定义：若 ax≡1(mod p)，则 x 称为 a 的模 p 逆元，记作 a⁻¹。
（2）逆元求解：由费马小定理 aᵖ⁻¹≡1 (mod p) 知 a×aᵖ⁻²≡1 (mod p)。据此可推导出 a 的逆元 a⁻¹ ≡ aᵖ⁻² (mod p)，其中 p 为质数。
（3）模数约束：模数 p 必须为质数。

● “取模”运算规则
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p
(a / b) % p = (a % p * inv(b) % p) % p，其中 inv(b) = bᵖ⁻² % p（当 p 是质数时）。

● 快速幂 → https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/143168167
快速幂，又称二进制取幂，是一个以 O(logn) 的时间复杂度计算 aⁿ 的小技巧。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
int fastPow(LL a,LL b,LL p) {
    LL ans=1;
    while(b){
        if(b & 1) ans=ans*a%p;
        b>>=1;
        a=a*a%p;
    }
    return ans%p;
}
 
int main() {
    int a,b,p;
    cin>>a>>b>>p;
    cout<<a<<"^"<<b<<" mod "<<p<<"="<<fastPow(a,b,p)%p;
}
 
/*
in:2 10 9
out:2^10 mod 9=7
*/

【应用实例】
洛谷 B2164：组合数问题 → https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/160095303
洛谷 P5104：红包发红包 → https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/159692341
AcWing 886：求组合数 II → https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/156121947

 

【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/160095303
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/159692341
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/156121947
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/143168167

 

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