AcWing 892：台阶 ← Nim博弈

​【题目来源】
https://www.acwing.com/problem/content/894/

【题目描述】
现在，有一个 n 级台阶的楼梯，每级台阶上都有若干个石子，其中第 i 级台阶上有 ai 个石子(i≥1)。
两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一级台阶上拿若干个石子放到下一级台阶中（不能不拿）。
已经拿到地面上的石子不能再拿，最后无法进行操作的人视为失败。
问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

【输入格式】
第一行包含整数 n。
第二行包含 n 个整数，其中第 i 个整数表示第 i 级台阶上的石子数 ai。

【输出格式】
如果先手方必胜，则输出 Yes。
否则，输出 No。​​​​​​​

【输入样例】
3
2 1 3​​​​​​​

【输出样例】
Yes

【数据范围】
1≤n≤10^5，
1≤ai≤10^9​​​​​​​

【算法分析】
● Nim 博弈定理：对于任意的 {a1, a2, a3, …, an}，若 S=a1⊕a2⊕a3⊕⋯⊕an 的值不等于 0，先手必胜，记为 N-position（先手必胜态）。若 S=a1⊕a2⊕a3⊕⋯⊕an 的值等于 0，先手必败，记为 P-position（先手必败态）。

● 台阶 Nim（Staircase Nim）：设有编号为 0,1,2,…,n 的台阶，其中 0 号为地面。每个台阶上放有若干枚石子。两名玩家轮流操作。每次操作，任选一个台阶 i（i≥1），将该台阶上任意数量的石子移动到台阶 i−1 上。将最后一枚石子移到 0 号地面的玩家获胜。

● 设台阶 Nim 中奇数台阶上的石子数为 a1, a3, a5, …。且令 S=a1⊕a3⊕a5⊕…，若 S≠0，则当前局面为先手必胜态（N-position）。若 S=0，则当前局面为先手必败态（P-position）。
证明：任何一步，只能把石子从台阶 i 移到 i−1。分两种情况讨论：
情况 A：操作发生在偶数台阶 i
从偶数台阶 i 移石子至奇数台阶 i−1，会使该奇数台阶石子数增加，看似改变 S。但后手可立即将这些石子从 i−1（奇数台阶）继续移至 i−2（偶数台阶），使所有奇数台阶的石子数复原，S 保持不变。这意味着：偶数台阶上的任何操作都可以被后手抵消，不影响最终胜负。
情况 B：操作发生在奇数台阶 i
从奇数台阶 i 移石子至偶数台阶 i−1，等价于在经典 Nim 游戏中从对应堆里移除若干石子。因为移入偶数台阶的石子会进入可被抵消的区域，不再对胜负产生实质影响。因此，只有奇数台阶石子数的变化，才真正决定局面走向。
综上，台阶 Nim 等价于仅以奇数台阶为石子堆的经典 Nim 游戏。

● 异或运算的基本性质（https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/154304346）
异或运算（XOR）具有以下重要性质：
交换律‌：a ^ b = b ^ a
结合律‌：a ^ (b ^ c) = (a ^ b) ^ c
自反性‌：a ^ a = 0
零元素‌：a ^ 0 = a
可逆性‌：如果 a ^ b = c，那么 a = c ^ b

【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n,t=0;
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        int x;
        cin>>x;
        if(i&1) t^=x;
    }
    if(t==0) cout<<"No\n";
    else cout<<"Yes\n";

    return 0;
}

/*
in:
3
2 1 3

out:
Yes
*/

【参考文献】
https://www.acwing.com/solution/content/13187/
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/154304346
https://www.acwing.com/file_system/file/content/whole/index/content/12084580/
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/158704426
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/154310120





 

​