AcWing 256：最大异或和 ← 可持久化 Trie
【题目来源】
【题目描述】
给定一个非负整数序列 a，初始长度为 N。
有 M 个操作，有以下两种操作类型：
1. A x：添加操作，表示在序列末尾添加一个数 x，序列的长度 N 增大 1。
2. Q l r x：询问操作，你需要找到一个位置 p，满足 l≤p≤r，使得：a[p] xor a[p+1] xor ... xor a[N] xor x 最大，输出这个最大值。
【输入格式】
第一行包含两个整数 N，M，含义如问题描述所示。
第二行包含 N 个非负整数，表示初始的序列 A。
接下来 M 行，每行描述一个操作，格式如题面所述。
【输出格式】
每个询问操作输出一个整数，表示询问的答案。
每个答案占一行。
【输入样例】
5 5
2 6 4 3 6
A 1
Q 3 5 4
A 4
Q 5 7 0
Q 3 6 6
【输出样例】
4
5
6
【数据范围】
1≤N,M≤3×10^5，0≤a[i]≤10^7。
【算法分析】
● 可持久化 Trie 是求解「动态 / 区间最大异或和」问题的标准首选解法，尤其是面对「静态区间最大异或」场景时，它的效率和简洁性都远优于其他方法（比如暴力、线段树套其他结构）。
● 可持久化是数据结构的一种设计思想，核心是对数据结构进行修改（插入、更新、删除）时，保留其所有历史版本，且各个版本独立可用，同时不同版本间共享未修改的公共部分以节省内存。
● 可持久化 Trie 与可持久化线段树的核心思想完全一致，本质都是「增量更新、共享不变结点、版本独立完整」。掌握其中一种可持久化数据结构的实现逻辑，都很容易迁移理解另一种。
● 可持久化 Trie，专注于字符串 / 二进制型数据，处理的是「匹配 / 异或」问题（前缀匹配、历史版本字符串查询、区间异或最值）；可持久化线段树，专注于数值型数据（整数、浮点数），处理的是「区间统计」问题（区间和、区间最值、区间第 k 大）。
● 前缀异或和：
（1）前缀异或和是一种基于异或运算的前缀和技术，用于高效处理子区间异或相关的问题。前缀异或和 s 定义为：s[i] = a[1] ⊕ ... ⊕ a[i]，其中 ⊕ 表示异或运算。特别地，s[0] = 0。
（2）前缀异或和重要性质
求证：若定义前缀异或和 s[i]=a[1]⊕a[2]⊕⋯⊕a[i]，则子区间 [le,ri] 的异或和等于 s[ri]⊕s[le−1]。
证明：由前缀异或和的定义，知：s[ri] = a[1]⊕a[2]⊕⋯⊕a[ri]，s[le−1] = a[1]⊕a[2]⊕⋯⊕a[le−1]。
又已知 区间 [le,ri] 的异或和等于 a[le]⊕⋯⊕a[ri]。
所以 s[ri]⊕s[le−1] = (a[1]⊕⋯⊕a[ri]) ⊕ (a[1]⊕⋯⊕a[le−1])
= (a[1]⊕⋯⊕a[le−1]) ⊕ (a[1]⊕⋯⊕a[le−1]⊕a[le]⊕⋯⊕a[ri])
= (a[1]⊕⋯⊕a[le−1]) ⊕ (a[1]⊕⋯⊕a[le−1]) ⊕ (a[le]⊕⋯⊕a[ri])
= 0 ⊕ (a[le]⊕⋯⊕a[ri])
= a[le]⊕⋯⊕a[ri]
综上，得证。
● AcWing 143.最大异或对：
“AcWing 256：最大异或和”，是“AcWing 143：最大异或对”的加强版。
【算法代码：注释版】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX_LEN=6e5+5; //Maximum sequence length (initial N + M)
const int BITS=25; //10^7 has 24 binary bits (2^24=16,777,216) at most
const int MAX_NODE=MAX_LEN*BITS;
struct TrieNode { //Persistent 0-1 Trie
int cnt;
int ch[2]; //children
} trie[MAX_LEN*BITS];
int root[MAX_LEN]; //root node of every version
int node_cnt=0; //Node counter
int prefix_xor[MAX_LEN]; //prefix_xor[0]=0, prefix_xor[i]=a[1]^...^a[i]
/*Insert a number into the trie,
creating a new version based on previous version pre*/
int insert(int pre,int num) {
int cur=++node_cnt;
int now=cur;
trie[now]=trie[pre];
trie[now].cnt++;
//Traverse from the highest bit to the lowest bit (23 to 0)
for(int i=BITS-1; i>=0; i--) {
int bit=(num>>i) & 1; //Get current bit's value
int pre_child=trie[pre].ch[bit];
trie[now].ch[bit]=++node_cnt; //Create a new child node
now=trie[now].ch[bit]; //Move to the next-level node
pre=pre_child;
trie[now]=trie[pre];
trie[now].cnt++;
}
return cur;
}
//Query the maximum value of XOR with target in the interval [L, R]
int query(int L,int R,int target) {
int res=0;
int node_L=root[L-1];
int node_R=root[R]; //version at right boundary
for(int i=BITS-1; i>=0; i--) {
int bit=(target>>i) & 1;
int opp_bit=!bit; //opposite_bit
// Check whether the opposite bit exists in the interval [L,R]
if(trie[trie[node_R].ch[opp_bit]].cnt-trie[trie[node_L].ch[opp_bit]].cnt>0) {
res|=(1<<i);
node_L=trie[node_L].ch[opp_bit];
node_R=trie[node_R].ch[opp_bit];
} else { //The opposite bit does not exist, choose the same bit
node_L=trie[node_L].ch[bit];
node_R=trie[node_R].ch[bit];
}
}
return res;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n,m;
cin>>n>>m;
prefix_xor[0]=0;
for(int i=1; i<=n; i++) {
int x;
cin>>x;
prefix_xor[i]=prefix_xor[i-1]^x;
}
root[0]=0;
for(int i=1; i<=n; i++) {
root[i]=insert(root[i-1],prefix_xor[i-1]);
}
int cur_len=n;
while(m--) {
char op[2];
cin>>op;
if(op[0]=='A') { //Append x to the end of the sequence
int x;
cin>>x;
cur_len++;
prefix_xor[cur_len]=prefix_xor[cur_len-1]^x;
root[cur_len]=insert(root[cur_len-1],prefix_xor[cur_len-1]);
} else if(op[0]=='Q') {
int le,ri,x;
cin>>le>>ri>>x;
int target=prefix_xor[cur_len]^x;
int ans=query(le,ri,target);
cout<<ans<<'\n';
}
}
return 0;
}
/*
in:
5 5
2 6 4 3 6
A 1
Q 3 5 4
A 4
Q 5 7 0
Q 3 6 6
out:
4
5
6
*/
【算法代码：无注释版】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX_LEN=6e5+5;
const int BITS=25;
const int MAX_NODE=MAX_LEN*BITS;
struct TrieNode {
int cnt;
int ch[2];
} trie[MAX_LEN*BITS];
int root[MAX_LEN];
int node_cnt=0;
int prefix_xor[MAX_LEN];
int insert(int pre,int num) {
int cur=++node_cnt;
int now=cur;
trie[now]=trie[pre];
trie[now].cnt++;
for(int i=BITS-1; i>=0; i--) {
int bit=(num>>i) & 1;
int pre_child=trie[pre].ch[bit];
trie[now].ch[bit]=++node_cnt;
now=trie[now].ch[bit];
pre=pre_child;
trie[now]=trie[pre];
trie[now].cnt++;
}
return cur;
}
int query(int L,int R,int target) {
int res=0;
int le=root[L-1];
int ri=root[R];
for(int i=BITS-1; i>=0; i--) {
int bit=(target>>i) & 1;
int opp=!bit;
if(trie[trie[ri].ch[opp]].cnt-trie[trie[le].ch[opp]].cnt>0) {
res|=(1<<i);
le=trie[le].ch[opp];
ri=trie[ri].ch[opp];
} else {
le=trie[le].ch[bit];
ri=trie[ri].ch[bit];
}
}
return res;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n,m;
cin>>n>>m;
prefix_xor[0]=0;
for(int i=1; i<=n; i++) {
int x;
cin>>x;
prefix_xor[i]=prefix_xor[i-1]^x;
}
root[0]=0;
for(int i=1; i<=n; i++) {
root[i]=insert(root[i-1],prefix_xor[i-1]);
}
int cur_len=n;
while(m--) {
char op[2];
cin>>op;
if(op[0]=='A') {
int x;
cin>>x;
cur_len++;
prefix_xor[cur_len]=prefix_xor[cur_len-1]^x;
root[cur_len]=insert(root[cur_len-1],prefix_xor[cur_len-1]);
} else if(op[0]=='Q') {
int le,ri,x;
cin>>le>>ri>>x;
int target=prefix_xor[cur_len]^x;
int ans=query(le,ri,target);
cout<<ans<<'\n';
}
}
return 0;
}
/*
in:
5 5
2 6 4 3 6
A 1
Q 3 5 4
A 4
Q 5 7 0
Q 3 6 6
out:
4
5
6
*/
【参考文献】
浙公网安备 33010602011771号