洛谷 P3478：[POI 2008] STA-Station ← 换根DP

​【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P3478

【题目描述】
给定一个 n 个点的树，请求出一个结点，使得以这个结点为根时，所有结点的深度之和最大。
一个结点的深度之和定义为该节点到根的简单路径上边的数量。

【输入格式】
第一行有一个整数，表示树的结点个数 n。
接下来（n-1）行，每行两个整数 u，v，表示存在一条连接 u，v 的边。

【输出格式】
输出一行一个整数表示你选择的结点编号。如果有多个结点符合要求，输出任意一个即可。

【输入样例】
8
1 4
5 6
4 5
6 7
6 8
2 4
3 4

【输出样例】
7 或 8

【数据范围】
对于全部的测试点，保证1≤n≤10^6，1≤u,v≤n，给出的是一棵树。

【算法分析】
● 换根 DP 是树形 DP 的一种重要技术，用于解决需要以树中‌不同节点为根‌分别计算答案的问题。其核心思想是在一次动态规划后，通过‌推导出换根时的状态转移公式‌，高效地计算出所有节点作为根时的结果，避免对每个根节点都进行一次 O(n) 的树形DP（那样总复杂度为 O(n²)）。

● 对于大多数简单的树形 DP 问题，如计算子树大小、节点深度、简单路径统计等，算法通常对每个节点执行常数次操作，因此时间复杂度为 ‌O(n)‌。

● 换根 DP 通常遵循一个固定的两遍 DFS 流程：
（一）第一次 DFS（固定根，收集信息）‌
（1）任选一个节点（通常为 1 号节点）作为初始根。
（2）进行一次自底向上的树形 DP，计算以该节点为根时，各子树的状态信息。这些信息通常包括：子树大小（siz[u]）、子树内节点到根的距离和（dis[u]）、或其他与问题相关的子树最优解。
（二）第二次 DFS（换根，推导全局）‌
（1）这是算法的关键。基于第一次 DFS 得到的信息，从初始根节点开始，进行第二次 DFS。
（2）在遍历过程中，当从父节点 u 走向子节点 v 时，利用已知的以 u 为根时的全局答案 dp[u]，推导出以 v 为根时的全局答案 dp[v]。
（3）这个推导过程就是 ‌“换根公式”‌，它分析了当根从 u 移到 v 时，哪些节点的贡献发生了变化（例如，深度增加或减少），并据此更新答案。

● 经典示例：所有节点到其他节点距离之和
这是一个最经典的换根DP问题，清晰地展示了换根公式的推导过程。
（1）问题‌：给一棵树，求以每个节点为根时，所有节点到该根节点的深度之和。
（2）定义‌：siz[u]：以 u 为根的子树中的节点数、dis[u]：以 u 为根时，所有节点到 u 的深度之和。

（3）步骤‌：
第一次 DFS‌：以节点 1 为根，计算 siz[u] 和初始的 dis[1]。
换根公式推导‌：当根从 u 换到其子节点 v 时，所有在 v 子树中的节点，到新根 v 的距离比到旧根 u 的距离‌减少1‌。这部分贡献总共减少 siz[v]。所有不在 v 子树中的节点（共 n - siz[v] 个），到新根 v 的距离比到旧根 u 的距离‌增加1‌。这部分贡献总共增加 n - siz[v]。
因此，dis[v] = dis[u] - siz[v] + (n - siz[v]) = dis[u] + n - 2 * siz[v]。
第二次 DFS‌：应用此公式，即可从 dp[1] 递推计算出所有节点的 dis[i]。

● 本题数据量达到了 10^6，所以在代码中加入如下语句（https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/143176072），避免 TLE。

ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);

当然，也可以使用“快读（https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/120131534）”函数，代码如下。

int read() { //fast read
    int x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0' || c>'9') { //!isdigit(c)
        if(c=='-') f=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0' && c<='9') { //isdigit(c)
        x=x*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return x*f;
}

【算法代码：邻接表存图】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e6+5;
typedef long long LL;
LL siz[N],dis[N],imx;
vector<int> g[N];
int n,id;

void dfs1(int u,int fa)  {
    siz[u]=1;
    for(int v:g[u]) {
        if(v==fa) continue;
        dfs1(v,u);
        siz[u]+=siz[v];
        dis[u]+=dis[v]+siz[v];
    }
    return;
}

void dfs2(int u,int fa) {
    for(int v:g[u]) {
        if(v==fa) continue;
        dis[v]=dis[u]-siz[v]+n-siz[v];
        if(dis[v]>imx) {
            imx=dis[v];
            id=v;
        } else if(dis[v]==imx) id=min(id,v);
        dfs2(v,u);
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=1; i<n; i++) {
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }

    dfs1(1,-1);
    imx=dis[1], id=1;
    dfs2(1,-1);
    cout<<id<<endl;

    return 0;
}

/*
in:
8
1 4
5 6
4 5
6 7
6 8
2 4
3 4

out:
7
*/

【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/157134513
https://mp.weixin.qq.com/s/efEtbnK1O7NI06k6wtmSmg
https://www.cnblogs.com/LYFmobai/p/10219339.html



 

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