洛谷 P2495：[模板] 虚树 / [SDOI2011] 消耗战 ← 虚树 + 树形DP + 倍增
【题目来源】
【题目描述】
在一场战争中，战场由 n 个岛屿和 n-1 个桥梁组成，保证每两个岛屿间有且仅有一条路径可达。现在，我军已经侦查到敌军的总部在编号为 1 的岛屿，而且他们已经没有足够多的能源维系战斗，我军胜利在望。已知在其他 k 个岛屿上有丰富能源，为了防止敌军获取能源，我军的任务是炸毁一些桥梁，使得敌军不能到达任何能源丰富的岛屿。由于不同桥梁的材质和结构不同，所以炸毁不同的桥梁有不同的代价，我军希望在满足目标的同时使得总代价最小。
侦查部门还发现，敌军有一台神秘机器。即使我军切断所有能源之后，他们也可以用那台机器。机器产生的效果不仅仅会修复所有我军炸毁的桥梁，而且会重新随机资源分布（但可以保证的是，资源不会分布到 1 号岛屿上）。不过侦查部门还发现了这台机器只能够使用 m 次，所以我们只需要把每次任务完成即可。
【输入格式】
第一行一个整数 n，表示岛屿数量。
接下来 n-1 行，每行三个整数 u，v，w，表示 u 号岛屿和 v 号岛屿由一条代价为 w 的桥梁直接相连。
第 n+1 行，一个整数 m，代表敌方机器能使用的次数。
接下来 m 行，第 i 行一个整数 k，代表第 i 次后，有 k 个岛屿资源丰富。接下来 ki 个整数 h1，h2，….，hk，表示资源丰富岛屿的编号。
【输出格式】
输出共 m 行，表示每次任务的最小代价。
【输入样例】
10
1 5 13
1 9 6
2 1 19
2 4 8
2 3 91
5 6 8
7 5 4
7 8 31
10 7 9
3
2 10 6
4 5 7 8 3
3 9 4 6
【输出样例】
12
32
22
【数据范围】
对于 10% 的数据，n≤10，m≤5。
对于 20% 的数据，n≤100，m≤100，1≤ki≤10。
对于 40% 的数据，n≤1000，1≤ki≤15。
对于100%的数据，2≤n≤2.5×10^5，1≤m≤5×10^5，Σki≤5×10^5，1≤ki<n，hi≠1，1≤u, v≤n，1≤w≤10^5。
【算法分析】
● 虚树是一种在树形结构问题中用于压缩规模、降低时间复杂度的数据结构，核心思想是只保留问题相关的关键节点，以及这些节点之间的路径关系，从而忽略大量无关节点，让原本无法在大数据范围下运行的算法变得可行。
（1）虚树的核心作用
虚树是临时数据结构，每组询问都需要根据查询节点重新构建，用完即弃。
对一棵 n 量级很大的树（如 1e5/1e6），每次查询只涉及 k 个关键点（k≪n），虚树可以只保留这些关键点间两两的 LCA，构建一棵节点数为 O(k) 的精简树，完美保留原树的“祖先 - 后代”关系、路径拓扑。
（2）虚树必存节点
构建虚树时，必须加入的节点只有两类（缺一不可）：
一是本次查询的所有关键点 (去重)，二是这些关键点两两之间的最近公共祖先 (LCA)。
（3）虚树的核心性质
虚树的节点数 ≤2k，边数 ≤2k，规模极小；
虚树的边对应原树的一条完整路径，而非原树的单条边；
虚树的根节点和原树根节点一致；
虚树是临时结构，每组查询都要重新构建，用完清空即可。
● 快读：
int read() { //fast read
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0' || c>'9') { //!isdigit(c)
if(c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0' && c<='9') { //isdigit(c)
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
return x*f;
}
● 链式前向星：
void add(int a,int b,int w) {
val[idx]=w,e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}大佬 yxc 指出“链式前向星”就是“多单链表”，每条单链表基于“头插法”并用 e[]、ne[]、h[] 、val[] 等数组进行模拟创建。其中：
e[idx]：存储序号为 idx 的边的终点值
ne[idx]：存储序号为 idx 的边指向的边的序号（模拟链表指针）
h[a]：存储头结点 a 指向的边的序号
val[idx]：存储序号为 idx 的边的权值（可选）
【算法代码】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e6+5;
const int LOG=20;
LL val[N],e[N],ne[N],h[N],idx;
int stk[N],top;
int timestamp;
int dfn[N],f[N][LOG+5],a[N],dep[N];
LL ans[N],dp[N];
bool flag[N];
inline int read() { //fast read
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0' || c>'9') { //!isdigit(c)
if(c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0' && c<='9') { //isdigit(c)
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
return x*f;
}
inline void add(int a,int b,int w) {
val[idx]=w,e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
inline bool cmp(int x,int y) {
return dfn[x]<dfn[y];
}
inline void dfs1(int u) {
dfn[u]=++timestamp;
dep[u]=dep[f[u][0]]+1;
for(int i=0; i<=LOG; i++) {
if(f[u][i]) f[u][i+1]=f[f[u][i]][i];
else f[u][i+1]=0;
}
for(int i=h[u]; i!=-1; i=ne[i]) {
int j=e[i];
if(!dfn[j]) {
f[j][0]=u;
dp[j]=min(dp[u],val[i]);
dfs1(j);
}
}
h[u]=-1;
}
inline void dfs2(int u) {
LL sum=0;
ans[u]=dp[u];
for(int i=h[u]; i!=-1; i=ne[i]) {
int j=e[i];
dfs2(j);
sum+=ans[j];
}
if(sum && !flag[u]) ans[u]=min(ans[u],sum);
h[u]=-1;
}
inline int LCA(int x,int y) {
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for(int i=LOG; i>=0; i--) {
if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
}
if(x==y) return x;
for(int i=LOG; i>=0; i--) {
if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
}
return f[x][0];
}
inline void solve() {
top=idx=0;
int m=read();
for(int i=1; i<=m; i++) {
a[i]=read();
flag[a[i]]=1;
}
sort(a+1,a+m+1,cmp);
for(int i=1; i<=m; i++) {
if(!top) {
stk[++top]=a[i];
continue;
}
int lca=LCA(a[i],stk[top]);
while(dfn[lca]<dfn[stk[top]]) {
if(dfn[lca]>=dfn[stk[top-1]]) {
add(lca,stk[top],0);
if(stk[--top]!=lca) stk[++top]=lca;
break;
}
add(stk[top-1],stk[top],0);
top--;
}
stk[++top]=a[i];
}
while(top>1) {
add(stk[top-1],stk[top],0);
top--;
}
dfs2(stk[1]);
printf("%lld\n",ans[stk[1]]);
for(int i=1; i<=m; i++) flag[a[i]]=0;
}
int main() {
memset(h, -1, sizeof(h));
int n=read();
for(int i=1; i<n; i++) {
int x=read(),y=read(),z=read();
add(x,y,z);
add(y,x,z);
}
dp[1]=LLONG_MAX;
dfs1(1);
int T=read();
while(T--) {
solve();
}
return 0;
}
/*
in:
10
1 5 13
1 9 6
2 1 19
2 4 8
2 3 91
5 6 8
7 5 4
7 8 31
10 7 9
3
2 10 6
4 5 7 8 3
3 9 4 6
out:
12
32
22
*/
【参考文献】
浙公网安备 33010602011771号