“树上倍增” → “树中节点 x 的第 k 个祖先”
【题目描述】
在一棵树上，除根节点外，每个节点有一个父节点。
问“节点 x 的第 k 个祖先”的编号。节点编号从 1 开始。
【输入格式】
第一行，两个整数。表示树中节点个数 n，及根节点的编号 root。
接下来 n-1 行，每行两个整数 x、y，表示节点 x 与节点 y 之间有一条边。
接下来一行，含一个整数 m。表示查询的次数。
接下来 m 行，每行两个整数 x、k，表示询问“节点 x 的第 k 个祖先是谁”？
【输出格式】
输出 m 行。每行一个整数，表示“节点 x 的第 k 个祖先”的编号。如何不存在，则输出 0。
【输入样例】
5 1
5 4
2 3
1 2
4 3
3
1 1
4 3
5 3
【输出样例】
0
1
2
【数据范围】
1≤n, m≤10^6，
1≤k≤10^9。
【算法分析】
● 暴力法求解本题的代码如下。但是由于 1≤k≤10^9，故会超时（TLE）。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
vector<int> tree[N];
int pre[N];
//DFS遍历确定父子关系
void dfs(int u,int fa) {
pre[u]=fa;
for(int j:tree[u]) {
if(j!=fa) dfs(j,u);
}
}
//暴力法查询k级祖先
int get_fa(int x,int k) {
int cur=x;
while(k--) {
if(cur==0) return 0; //祖先不存在
cur=pre[cur];
}
return cur;
}
int main() {
int n,m,rt,x,y,k;
cin>>n>>rt;
for(int i=1; i<n; i++) {
cin>>x>>y;
tree[x].push_back(y);
tree[y].push_back(x);
}
dfs(rt,0);
cin>>m;
while(m--) {
cin>>x>>k;
cout<<get_fa(x, k)<<endl;
}
return 0;
}
/*
in:
5 1
5 4
2 3
1 2
4 3
3
1 1
4 3
5 3
out:
0
1
2
*/
● 由于本题输入为无向边，故在上述采用暴力法求解的代码中，需先通过遍历确定父子关系。下面代码实现了一个在树结构中进行深度优先搜索（DFS）的递归函数，其核心功能是建立并记录每个节点的父节点关系。在首次调用时，根节点的 fa 通常传入 0 或 -1。
//DFS遍历确定父子关系
void dfs(int u,int fa) {
pre[u]=fa;
for(int j:tree[u]) {
if(j!=fa) dfs(j,u);
}
}在此代码中：
（1）u 表示当前正在访问的节点。
（2）核心操作 pre[u]=fa，表示将节点 u 的父节点记录在 pre 数组中，这是后续进行祖先查询（如求 LCA、k 级祖先）的基础。
（3）通过 if(j != fa) 核心判断，确保只向“子节点”方向递归，避免重复访问父节点，从而正确遍历整棵树。
● 本题输入样例对应的示意图如下所示。
依据输入样例示意图，可以清晰直观地观察输出样例的结果。
● 在本文基于链式前向星、基于邻接表的代码中，要特别注意数组 f[N][LOG+5]。也就是说，此二维数组的第二维为 LOG+5，即比 LOG 略大一点。这是基于下文代码进行设计的，防止越界。
【算法代码一：链式前向星存树】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
const int LOG=20; //log2(N)<20
int f[N][LOG+5]; //f[i][j] represents 2^j-th ancestor of node i
int dep[N];
int e[N<<1],ne[N<<1],h[N],idx;
void add(int a,int b) {
e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void dfs(int u,int fa) {
dep[u]=dep[fa]+1;
f[u][0]=fa;
for(int i=1; i<=LOG; i++) {
f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
}
for(int i=h[u]; i!=-1; i=ne[i]) {
int j=e[i];
if(j!=fa) dfs(j,u);
}
}
int get_fa(int x, int k) {
if(dep[x]<k) return 0;
for(int i=LOG; i>=0; i--) {
if(k&(1<<i)) x=f[x][i];
}
return x;
}
int main() {
memset(h,-1,sizeof h);
int n,m,rt,x,y,k;
cin>>n>>rt;
for(int i=1; i<n; i++) {
cin>>x>>y;
add(x,y),add(y,x);
}
dfs(rt,0);
cin>>m;
while(m--) {
cin>>x>>k;
cout<<get_fa(x,k)<<endl;
}
return 0;
}
/*
in:
9 1
1 2
1 3
1 4
1 5
3 6
3 7
7 8
8 9
2
6 2
9 3
out:
1
3
*/【算法代码二：邻接表存树】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
const int LOG=20; //log2(N)<20
int f[N][LOG+5]; //f[i][j] represents 2^j-th ancestor of node i
int dep[N];
vector<int> tree[N]; //adjacency list
void dfs(int u,int fa) {
dep[u]=dep[fa]+1;
f[u][0]=fa;
for(int i=1; i<=LOG; i++) {
f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
}
for(int j:tree[u]) {
if(j!=fa) dfs(j,u);
}
}
int get_fa(int x,int k) {
for(int i=LOG; i>=0; i--) {
if(k&(1<<i)) x=f[x][i];
}
return x;
}
int main() {
int n,m,rt,x,y,k;
cin>>n>>rt;
for(int i=1; i<n; i++) {
cin>>x>>y;
tree[x].push_back(y);
tree[y].push_back(x);
}
dfs(rt,0);
cin>>m;
while(m--) {
cin>>x>>k;
cout<<get_fa(x,k)<<endl;
}
return 0;
}
/*
in:
9 1
1 2
1 3
1 4
1 5
3 6
3 7
7 8
8 9
2
6 2
9 3
out:
1
3
*/
【参考文献】
浙公网安备 33010602011771号