东方博宜OJ 2558：数字游戏 ← 数位DP + 不降数
【题目来源】
【题目描述】
科协里最近很流行数字游戏。某人命名了一种不降数，这种数字必须满足从左到右各位数字成小于等于的关系，如123，446。
现在大家决定玩一个游戏，指定一个整数闭区间 [a, b]，问这个区间内有多少个不降数。有多组测试数据。每组只含两个数字 a，b，意义如题目描述。
【输入格式】
有多组测试数据。每组只含两个数字a，b，意义如题目描述。
【输出格式】
每行给出一个测试数据的答案，即[a, b]之间有多少不降数。
【输入样例】
1 9
1 19
【输出样例】
9
18
【数据范围】
对于全部数据，1≤a≤b≤2^31-1。
【算法分析】
● f[i][j] 表示长度为 i 最高位为 j 的满足条件的数字个数。
● 核心状态解析
（一）初始化
for(int i=0; i<=9; i++) f[1][i]=1;
由于每个一位数字（0 ~ 9）都是“非严格递增”的数字，即不降数。因此，f[1][i]=1。
（二）动态规划的状态转移 (i>=2)
for(int i=2; i<N; i++)
for(int j=0; j<=9; j++)
for(int k=j; k<=9; k++)
f[i][j]+=f[i-1][k];（1）外层循环 for(int i=2; i<N; i++)：从长度为 2 的数字开始，依次计算到最大长度 N-1。
（2）中层循环 for(int j=0; j<=9; j++)：j 代表当前要计算的、长度为 i 的数字的最高位数字。
（3）内层循环 for(int k=j; k<=9; k++)：这是状态转移的关键。
▆ k 的取值范围是 [j, 9]。这确保了在数字 j 之后的下一位数字 k 不小于 j，从而保证了数位的非严格递增性。
▆ f[i][j]+=f[i-1][k]：要构造一个长度为 i、最高位为 j 的不降数，可以在 j 后面拼接上一个长度为 i-1 的不降数，这个长度为 i-1 的数的最高位（即 j 的后一位）必须是 k，并且 k 必须满足 k>=j。
因此，将所有以 k 为最高位的、长度为 i-1 的不降数的可能数量 f[i-1][k] 累加起来，就得到了 f[i][j]。
● 核心代码功能详述
int cnt=0,pre=0;
for(int i=v.size()-1; i>=0; i--) {
int x=v[i];
for(int j=pre; j<x; j++) {
cnt+=f[i+1][j];
}
if(x<pre) break;
pre=x;
if(i==0) cnt++;
}（一）变量初始化
int cnt=0,pre=0;cnt：最终要返回的满足条件的数字总数。
pre：记录在当前已处理的高位部分中，最后一位（最低位）的数字值。初始为 0，因为尚未处理任何高位，可以认为“虚拟前缀”的最后一位是 0，这确保了第一位可以取 0 到 9 的任何数字。
（二）逐位处理循环
for(int i=v.size()-1; i>=0; i--) {
int x=v[i];循环从最高位（v.size()-1）向最低位（0）遍历数字 n 的每一位。x 是当前位在原数 n 中的实际值。
（三）核心计数：处理当前位小于原数值的情况
for(int j=pre; j<x; j++) {
cnt+=f[i+1][j];
}这是算法的关键步骤，用于累加所有当前位小于 x 且满足递增条件的数字数量。
（1）j 的取值范围：从 pre（已确定前缀的最后一位）到 x-1。这保证了新选的数字 j 不小于前缀的最后一位 pre，从而维持了数位的非严格递增性。
（2）f[i+1][j] 的含义：i+1 表示从当前位开始（包括当前位）到最低位的总剩余位数。f[i+1][j] 表示构造一个长度为 i+1 位、最高位为 j 且所有数位非严格递增的数字的全部可能数量。这个值已在 init() 函数中预先计算好。
（3）累加逻辑：对于每一个可能的 j（j<x），由于当前位已经固定为小于原数 n 对应位的值，因此剩余的所有低位（i 位）可以任意填充，只要满足从 j 开始的递增条件即可。这些“任意填充”的全部可能性总数，正是 f[i+1][j]。将它们全部累加到 cnt 中，就计入了所有当前位小于 x 的、且小于 n 的合法数字。
（四）处理当前位等于原数值的情况与边界检查
if(x<pre) break;
pre=x;（1）if(x<pre) break;：这是一个关键的中断条件。它检查原数 n 的当前位 x 是否小于已确定前缀的最后一位 pre。如果是，说明数字 n 本身在当前位置就破坏了“非严格递增”的条件。由于我们接下来要尝试固定当前位为 x 并继续处理低位，但 x<pre 已经导致递增性被破坏，所以后续所有情况（固定当前位为 x 并继续）都不可能构成递增数。因此直接跳出循环，不再处理更低的位。
（2）pre=x;：如果 x>=pre，说明到目前为止原数 n 的前缀部分本身是满足递增条件的。于是我们将 pre 更新为当前位的值 x，然后进入下一位的处理。这相当于我们“选择”了当前位等于原数 n 的对应值，继续向下试探。
（五）处理完所有位后的计数
if(i==0) cnt++;当循环成功处理到最低位（i==0）且没有因 x<pre 而中途跳出时，说明原数字 n 的每一位都满足非严格递增的条件（x>=pre 始终成立）。因此，数字 n 本身也是一个合法的递增数，需要将其计入总数，故 cnt++。
【算法代码】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=12;
int f[N][10]; //f[i][j]表示长度为i最高位为j的满足条件的数字个数
void init() {
for(int i=0; i<=9; i++) f[1][i]=1;
for(int i=2; i<N; i++)
for(int j=0; j<=9; j++)
for(int k=j; k<=9; k++)
f[i][j]+=f[i-1][k];
}
int dp(int n) {
if(n==0) return 1;
vector<int> v;
while(n) {
v.push_back(n%10);
n/=10;
}
int cnt=0,pre=0;
for(int i=v.size()-1; i>=0; i--) {
int x=v[i];
for(int j=pre; j<x; j++) {
cnt+=f[i+1][j];
}
if(x<pre) break;
pre=x;
if(i==0) cnt++;
}
return cnt;
}
int main() {
init();
int le,ri;
while(cin>>le>>ri) {
cout<<dp(ri)-dp(le-1)<<endl;
}
return 0;
}
/*
in:
1 9
1 19
out:
9
18
*/
【参考文献】
浙公网安备 33010602011771号