洛谷 P1836：数页码 ← 数位DP

​【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P1836

【题目描述】
一本书的页码是从 1∼n 编号的连续整数：1,2,3,⋯,n。请你求出全部页码中所有单个数字的和，例如第 123 页，它的和就是 1+2+3=6。

【输入格式】
一行一个整数 n。

【输出格式】
一行，代表所有单个数字的和。​​​​​​​

【输入样例一】
12​​​​​​​

【输出样例一】
51

【输入样例二】
3456789​​​​​​​

【输出样例二】
96342015

【数据范围】
1≤n≤10^9​​​​​​​

【算法分析】
● 本题“暴力法”代码如下所示。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int cal(int n) {
    int sum=0;
    while(n) {
        sum+=n%10;
        n/=10;
    }
    return sum;
}

int main() {
    int n,ans=0;
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        ans+=cal(i);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

/*
in:3456789
out:96342015
*/

由于暴力法时间复杂度达 O(nlogn)，而本题问题规模达 10^9，故求解只过 4 个样例，得 40 分，其他 6 个样例 TLE。因此，可以考虑“数位DP”算法求解。

● 数位DP（Digit Dynamic Programming）是一种用于解决数字数位相关计数问题的动态规划算法。其核心思想是将数字按位拆解，通过递归或递推的方式处理每一位的选择，并利用记忆化搜索来避免重复计算，从而高效统计满足特定条件的数字数量。

●​​​​​​​ 数位DP通过记录前导零、数位限制等状态，将问题复杂度降低至 O(log n)，能够处理非常大的数字范围（如 10^18）。其实现通常是将统计 [le, ri] 的问题转化为统计 [1, ri] 和 [1, le-1] 的结果相减。

● 数位DP题型的特点：求某个区间 [le, ri] 内，满足某种性质的数的个数。

● 算法分析详见：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/156267002

●​​​​​​​ 洛谷 P1836：数页码（https://www.luogu.com.cn/problem/P1836）的代码，与洛谷 P2602：[ZJOI2010] 数字计数（https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/156267002）、AcWing 338：计数问题（https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/156011817）的代码基本一致。

【算法代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N=15;
LL ten[N],f[N];

void init() {
    ten[0]=1;
    for(int i=1; i<N; i++) {
        f[i]=f[i-1]*10+ten[i-1];
        ten[i]=10*ten[i-1];
    }
}

vector<LL> dp(LL n) {
    vector<LL> cnt(10,0);
    if(n<=0) return cnt;

    vector<LL> v;
    while(n) {
        v.push_back(n%10);
        n=n/10;
    }

    for(int i=v.size(); i>=1; i--) {
        LL x=v[i-1];
        for(int j=0; j<=9; j++) {
            cnt[j]+=f[i-1]*x;
        }
        for(int j=0; j<x; j++) {
            cnt[j]+=ten[i-1];
        }

        LL pre=0;
        for(int j=i-2; j>=0; j--) {
            pre=pre*10+v[j];
        }
        cnt[x]+=pre+1;
        cnt[0]-=ten[i-1];
    }
    return cnt;
}

int main() {
    init();
    LL n;
    cin>>n;
    vector<LL> nle=dp(0);
    vector<LL> nri=dp(n);

    LL ans=0;
    for(int i=0; i<=9; i++) {
        ans=ans+(nri[i]-nle[i])*i;
    }
    cout<<ans<<endl;

    return 0;
}

/*
in:3456789
out:96342015
*/

【参考文献】
https://blog.csdn.net/qq_50332374/article/details/125619639
https://www.luogu.com.cn/training/82023
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/155972543
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/155997570
https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/148437243


 

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