AcWing 1072：树的最长路径 ← 树形DP + 有权边
【题目来源】
【题目描述】
给定一棵树，树中包含 n 个结点（编号 1~n）和 n−1 条无向边，每条边都有一个权值。
现在请你找到树中的一条最长路径。
换句话说，要找到一条路径，使得路径两端的点的距离最远。
注意：路径中可以只包含一个点。
【输入格式】
第一行包含整数 n。
接下来 n−1 行，每行包含三个整数 ai，bi，ci，表示点 ai 和 bi 之间存在一条权值为 ci 的边。
【输出格式】
输出一个整数，表示树的最长路径的长度。
【输入样例】
6
5 1 6
1 4 5
6 3 9
2 6 8
6 1 7
【输出样例】
22
【数据范围】
1≤n≤10000,
1≤ai,bi≤n,
−10^5≤ci≤10^5
【算法分析】
● 什么是树的直径？树上任意两结点之间最长的简单路径即为树的直径。
若无负权边，可以采用两次 DFS 或者树形 DP 的方法在 O(n) 时间求出树的直径；若有负权边，则只能采用树形 DP 求解树的直径。显然，一棵树可以有多条直径，因为树中可能存在最长长度相等的多条简单路径。→ 推荐使用树形 DP 求解树的直径。
● 根据树形 DP 法原理，树的直径计算方法如下：
（1）路径定义：树的直径是树中任意两节点间最长的简单路径长度。
（2）状态转移：以某节点为根的子树，其延伸的最长路径长度记为 d1，次长路径长度记为 d2。树的直径即为所有节点 d1+d2 的最大值。
（3）路径特性：最长路径 d1 和次长路径 d2 无公共边，确保路径唯一性。
● 路径更新
若 d1[j]+1>d1[u]，说明通过 j 的路径更长，更新 d1[u]=d1[j]+1，同时旧的最长路径 d1[u] 转为次长路径 d2[u]。
若 d1[j]+1<=d1[u] 但 d1[j]+1>d2[u]，说明 j 的路径虽非最长，但比当前次长路径更长，更新 d2[u]=d1[j]+1。
● 更新方向
在树形 DP 中，路径长度从叶子节点（无子节点）开始计算，逐层向上更新父节点的路径长度。因此，j（子节点）确实会先于 u（父节点）被处理，符合“自下向上更新”的描述。
d1 和 d2 初始值为 0，表示所有节点的最长和次长路径长度从 0 开始计算，符合树形 DP 的初始化要求。
【算法代码一：有权边】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int val[N<<1],e[N<<1],ne[N<<1],h[N],idx;
int d1[N],d2[N];
int imax=INT_MIN;
void add(int a,int b,int w) {
val[idx]=w,e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void dfs(int u,int fa) {
d1[u]=d2[u]=0;
for(int i=h[u]; i!=-1; i=ne[i]) {
int j=e[i];
if(j==fa) continue;
dfs(j,u);
if(d1[j]+val[i]>d1[u]) {
d2[u]=d1[u];
d1[u]=d1[j]+val[i];
} else if(d1[j]+val[i]>d2[u]) {
d2[u]=d1[j]+val[i];
}
}
imax=max(imax,d1[u]+d2[u]);
}
int main() {
memset(h,-1,sizeof h);
int n;
cin>>n;
for(int i=1; i<n; i++) {
int a,b,w;
cin>>a>>b>>w;
add(a,b,w),add(b,a,w);
}
dfs(1,-1);
cout<<imax<<endl;
return 0;
}
/*
in:
6
5 1 6
1 4 5
6 3 9
2 6 8
6 1 7
out:
22
*/
【算法代码二：无权边】
基于树边无权的情形，求树的直径的实例详见“洛谷 B4016：树的直径”。
详见：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int e[N<<1],ne[N<<1],h[N],idx;
int d1[N],d2[N];
int imax=INT_MIN;
void add(int a,int b) {
e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void dfs(int u,int fa) {
for(int i=h[u]; i!=-1; i=ne[i]) {
int j=e[i];
if(j==fa) continue;
dfs(j,u);
if(d1[j]+1>d1[u]) {
d2[u]=d1[u];
d1[u]=d1[j]+1;
} else if(d1[j]+1>d2[u]) {
d2[u]=d1[j]+1;
}
}
imax=max(imax,d1[u]+d2[u]);
}
int main() {
memset(h,-1,sizeof h);
int n;
cin>>n;
for(int i=1; i<n; i++) {
int a,b;
cin>>a>>b;
add(a,b),add(b,a);
}
dfs(1,-1);
cout<<imax<<endl;
return 0;
}
/*
in:
5
1 2
2 4
4 5
2 3
out:
3
*/
【参考文献】
浙公网安备 33010602011771号