匈牙利算法简介 → 二分图最大匹配
【匈牙利算法简介】
● 匈牙利算法是解决“二分图最大匹配”问题的专精算法，由匈牙利数学家 Edmonds 于 1965 年提出，其主要功能是「求二分图的最大匹配的数量」。
● 匈牙利算法的冲突处理逻辑
设集合 U 和 V 为二分图的两个顶点集，M 为当前匹配集合。当元素 x∈U 需要与元素 y∈V 匹配，但 y 已与元素 z∈U 匹配时，算法的冲突处理逻辑为：
（1）检查元素 z 能否与集合 V 中其他元素 c（c≠y）形成新的匹配。
（2）若存在这样的元素 c，则将匹配关系调整为 (z,c) 和 (x,y)。
（3）若不存在，则继续为 x 寻找 V 集合中的其他匹配候选。
显然，匈牙利算法冲突处理的逻辑是“后来者居上”、“腾位子”。
● 匈牙利算法的示例
俗话说，“男女搭配，干活不累”。已知二分图的一部分是“男生集合”，另一部分是“女生集合”。若把具有好感的男女生匹配为“干活搭子”，请问最多能匹配成多少对儿？这就是匈牙利算法要解决的问题。（备注：具有好感的男女生已用线在二分图中进行了连接）
（1）遍历到 1 号男生，发现他和 2 号女生具有好感。因此，将他俩连一条红线配成“干活搭子”。
（2）遍历到 2 号男生，发现他和 1 号女生具有好感，因此，将他俩连一条红线配成“干活搭子”。
（3）遍历到 3 号男生，发现他和 2 号女生具有好感，但是 2 号女生已经和 1 号男生配对了。
怎么办？观察易知，1 号男生还和 4 号女生具有好感。那么问题就简单了。解决方法是给 1 号男生和 2 号女生连一条绿线，标示他们分开。然后再把 1 号男生和 4 号女生连一条红线配成“干活搭子”，3 号男生和 2 号女生连一条红线配成“干活搭子”。此番操作，都有配对，皆大欢喜。
（4）遍历到 4 号男生，发现他和 3 号女生具有好感。因此，将他俩连一条红线配成“干活搭子”。最后，获得最大匹配数量为 4 对。
【匈牙利算法求解“”代码】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e2+5,M=5e4+5;
int e[M],ne[M],h[N],idx;
int mate[N],st[N];
void add(int a,int b) {
e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
bool HA(int u) { //Hungarian Algorithm
for(int i=h[u]; i!=-1; i=ne[i]) {
int j=e[i];
if(!st[j]) {
st[j]=true;
if(!mate[j] || HA(mate[j])) {
mate[j]=u;
return true;
}
}
}
return false;
}
int main() {
memset(h,-1,sizeof h);
int n,m,e;
cin>>n>>m>>e;
while(e--) {
int u,v;
cin>>u>>v;
add(u,v);
}
int cnt=0;
for(int i=1; i<=n; i++) {
memset(st,false,sizeof st);
if(HA(i)) cnt++;
}
cout<<cnt<<endl;
return 0;
}
/*
in:
4 2 7
3 1
1 2
3 2
1 1
4 2
4 1
1 1
out:
2
*/
【参考文献】
浙公网安备 33010602011771号