谢启鸿细说复旦大学高等代数教材

复旦高代教材从1993年9月开始在复旦大学数学系使用，30年间历经数次修订，连续荣获“十五”、“十一五”和“十二五”国家级规划教材。为了使读者对复旦高代教材有更加深入的了解，下面给出每一章的详细介绍，展示在构建高等代数知识体系及其应用框架的过程中，一些具体的设计与独特的思考。

第一章 行列式

复旦高代教材将行列式作为第一章，有以下三个原因。

（1）复旦高代教材中引入的第一个大问题就是“线性方程组的求解”。事实上，在解决线性方程组求解问题的历史进程中，数学家们研究的对象首先是行列式，其次是矩阵，最后是线性空间，由此完美地解决了线性方程组的求解问题。因此从历史发展上看，将行列式作为第一章符合人类从易到难的认知规律。

（2）行列式不涉及抽象的概念，偏重技巧和计算，与高中数学有很大的关联性。因此对大一学生来说，行列式特别适合作为从高中数学到大学数学的敲门砖，有利于实现思维方式的平稳过渡。

（3）高等代数中众多定理的证明都是对矩阵阶数或空间维数进行归纳，因此可以说数学归纳法是高等代数的第一方法。复旦高代教材讲授行列式，并不是采用逆序数这样的组合定义，而是采用第一列展开这样的递归定义，然后用数学归纳法证明行列式的所有性质，最后由性质轻松得到等价的组合定义。这一讲授方式不仅易于掌握行列式理论，而且使学生从一开始就认识到数学归纳法的威力，并使学生主动掌握和应用数学归纳法去解决问题。

第二章 矩阵

第二章介绍了矩阵的基本概念和运算，重点放在矩阵的乘法，方阵的逆阵和矩阵的初等变换上，对分块矩阵也做了比较详细的介绍。因为有行列式的铺垫，所以矩阵理论的讲述非常连贯，例如可直接给出可逆矩阵的行列式判定等。值得一提的是，为了使学生能从几何层面深刻理解矩阵秩的本质，我们在第二章并没有给出矩阵秩的定义（即把矩阵秩的子式判别法作为定义），而是延后到第三章利用向量组的秩来给出矩阵秩的定义。作为选讲内容，第一章有Laplace定理，第二章有Cauchy-Binet公式，这些都是行列式理论和矩阵理论的有益补充。

第三章 线性空间

第三章以行列向量空间为模型引入了数域上线性空间的概念，以线性方程组求解为背景引入了向量的线性组合、线性相关和线性无关的概念，并以此为出发点，给出了向量组的极大无关组和秩，以及线性空间的基和维数等概念，逐步建立起了线性空间理论。我们较早引入了坐标向量的概念，在第三章就给出了抽象的线性空间到具体的列向量空间之间的线性同构（一般的线性映射和同构的概念将在第四章引入），展现了“几何问题代数化”这一重要思想。引入子空间的概念之后，利用矩阵的初等变换可以给出线性方程组求解问题（第一个大问题）的完满回答。同时引入的子空间直和的概念，也为相似标准型（第二个大问题）的几何构造做好了准备。线性空间理论是贯穿复旦高代教材的一条主线，也是构建高等代数知识体系及其应用框架的基石。

第四章 线性映射

第四章介绍了线性映射和线性变换等概念，阐明了线性映射与矩阵之间的一一对应关系，以及“代数与几何之间的相互转换”这一重要的思想方法，使学生能把“几何问题代数化”并用代数工具加以解决，或者反过来能把“代数问题几何化”并用几何方法进行处理。第四章还提出了复旦高代教材中的第二个大问题——线性变换的表示矩阵相对简单化问题，用代数语言来说就是矩阵的相似标准型问题。

第五章 多项式

多项式理论主要是为相似标准型理论做准备，因此复旦高代教材给出了相当完整的一元多项式理论，例如利用互素多项式证明了多项式版本的中国剩余定理，以及利用多元函数的连续性证明了代数基本定理等。为了引入二次型和计算特征值，第五章还给出了多元多项式和对称多项式的部分理论。最后，一元多项式的结式和判别式体现了行列式与多项式之间的密切联系，这也是行列式理论的发端之一。

第六章 特征值

特征值理论也是为相似标准型理论做准备。特征值和特征向量是作为一维不变子空间引入的，这种引入方法具有直观的几何意义。可对角化的矩阵具有最简单的一类相似标准型——对角阵，因此第六章介绍了矩阵可对角化的若干判定准则。第六章证明了Cayley-Hamilton定理，它在矩阵和线性变换理论以及多项式理论之间建立了密切的联系，是相似标准型几何构造的基石之一。作为选讲内容，第六章还给出了两个圆盘定理，可用于特征值的理论估计。

第七章 相似标准型

相似标准型理论通常有代数与几何两种讲述方法，复旦高代教材采用的是λ—矩阵这种代数方法。首先，引入λ—矩阵及其初等变换等概念，并将普通矩阵的相似转化为特征矩阵（特殊的λ—矩阵）的相抵。其次，利用初等变换求出特征矩阵的法式（Smith标准型），由此得到矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子，这三组多项式都是矩阵在相似关系下的全系不变量。最后，由不变因子可构造矩阵的有理标准型，由复数域上的初等因子可构造矩阵的Jordan标准型，这样便给出了第二个大问题的完满回答。λ—矩阵这种代数方法不仅证明了两类标准型的存在性，而且给出了两类标准型的计算方法，特别适合初学者理解和掌握。作为Jordan标准型理论的应用，第七章给出了全空间关于根子空间和循环子空间的两种直和分解，这使学生对构造相似标准型的几何方法也有所了解。作为选讲内容，第七章还介绍了矩阵函数的相关内容，这为后续课程提供了便利。

第八章 二次型

第八章提出了复旦高代教材中的第三个大问题——二次超曲面的分类问题，这一问题可归结为二次型的化简问题。如果考虑坐标向量之间的非异线性变换，那么二次型的化简等价于相伴对称阵的合同。第八章证明了实二次型的惯性定理，给出了实对称阵的合同标准型，介绍了正定实二次型和正定实对称阵的若干判定准则。作为选讲内容，第八章还给出了Hermite型和Hermite矩阵的平行理论。

第九章 内积空间

实（复）线性空间上添加内积结构后便成为实（复）内积空间。线性空间及其线性变换有许多重要的性质和理论，第九章的主要任务是将这些性质和理论在内积空间的框架下进行推广。特别地，对第三个大问题而言，如果考虑坐标向量之间的正交变换（保持内积），那么实二次型的化简等价于实对称阵的正交相似标准型。第九章采用几何的语言叙述问题，利用几何的方法证明定理，最后作为推论得到代数版本的结论。第九章引入了内积的Gram矩阵、内积空间的标准正交基和线性算子的伴随等概念，研究了保积同构、自伴随算子和复正规算子的几何结构，作为选讲内容还研究了实正规算子的几何结构，线性算子的谱分解、极分解和奇异值分解，以及最小二乘解等内容。从代数的层面来看，第九章给出了实对称阵的正交相似标准型、实正规阵的正交相似标准型、Hermite矩阵的酉相似标准型，复正规阵的酉相似标准型，矩阵的极分解和奇异值分解等重要理论。

第十章 双线性型

第十章都是选讲内容，介绍了对偶空间、双线性型、纯量积、交错型与辛几何、对称型与正交几何等概念和理论。这些内容在后续课程和物理学中有重要的应用。

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由上述介绍不难看出，复旦高代教材具有以下三个特点：

（1）以线性空间为主线，注重代数与几何之间的相互转换和有机统一。

（2）以三大问题为切入点，构建完整的高等代数知识体系及其应用框架。

（3）在夯实代数基础的同时，服务后续专业课程，如抽象代数、常微分方程、数值分析、泛函分析和微分几何等。