群论

群的定义

群

若集合 \(G\) 和其上的运算 \(*\) 满足一下四个条件，则称二元组 \((G,*)\) 构成群。

1. 封闭性：\(\forall f,g\in G,f*g\in G\)。
2. 结合律：\(\forall f,g,h\in G,(f*g)*h=f*(g*h)\)。
3. 单位元存在性：\(\exist e\in G\)，使得 \(\forall g\in G,e*g=g*e=g\)。
4. 逆元存在性：\(\forall f\in G,\exist g\in G\)，使得 \(f*g=g*f=e\)。称 \(g\) 为 \(f\) 的逆元，记作 \(f^{-1}\)。

特别地，若群 \(G\) 满足交换律，称 \(G\) 是一个交换群或阿贝尔（Abel）群。

阶

群 \(G\) 的元素个数称为 \(G\) 的阶，记为 \(|G|\)。若 \(G\) 有无穷多个元素，称 \(G\) 为无限群，若 \(G\) 的元素个数有限，称 \(G\) 为有限群。

子群

设 \((G,*)\) 是群，若 \(G\) 的子集 \(H\) 对于同一种运算 \(*\) 也构成群，则称 \((H,*)\) 是 \((G,*)\) 的子群，记作 \(H\leq G\)。

陪集

对于群 \((G,*)\) 和它的一个子群 \(H\leq G\)，对于一个元素 \(g\in G\)，记集合 \(gH=\{g*h|h\in H\}\) 为 \(H\) 在 \(G\) 中导出的一个左陪集，同理可以给出右陪集的定义。

很明显，陪集的大小等于 \(|H|\)。

注意，陪集不一定是子群。

Lagrange 定理

定理 1（陪集的性质）

对于子群 \(H\leq G\)，它导出的任意两个陪集，要么完全相同，要么交集为空。

证明（以两个元素都导出左陪集为例）：

若 \(g_1,g_2\in G,g_1\neq g_2\) 所导出的陪集有交，那么必然存在 \(h_1,h_2\in H,h_1\neq h_2\)，满足 \(g_1*h_1=g_2*h_2\)。

同时右乘一个 \(h_1^{-1}\) 得 \(g_1=g_2*h_2*h_1^{-1}\)，又因为 \(h_1^{-1}\in H\)，所以 \(h_2*h_1^{-1}\in H\)，即 \(\exist t\in H\)，满足 \(g_1=g_2*t\)。

因此，对于 \(g_1H\) 中的任意元素 \(g_1*h,h\in H\)，都可以表示成 \(g_2*t*h\)，而 \(t*h\in H\)，所以 \(g_1*h\in g_2H\)。

如上就证明了 \(g_1H\subseteq g_2H\)，同理可以证明 \(g_2H\subseteq g_1H\)，因此 \(g_1H=g_2H\)，定理得证。

定理 2（Lagrange 定理）

对于有限群 \(G\) 及其子群 \(H\leq G\)，有 \(|G|=|H|[G:H]\)。

其中，\([G:H]\) 表示 \(H\) 能够导出的陪集的种类数。

定理 3（子群的性质）

由 Lagrange 定理可以得到一个推论。

对于有限群 \(G\) 及其子群 \(H\leq G\)，有 \(|H|\) 整除 \(|G|\)。

染色的定义

染色

有一个由编号 \(1\) 到 \(n\) 构成的集合，它上面的染色 \(c\) 定义为给集合中的每一个元素分配一种颜色的分配方案，其中第 \(i\) 个元素的颜色为 \(c[i]\)。

广义的染色

对于群 \(G\)（无须是置换群）和一个全集 \(\mathcal{C}\)，对于 \(G\) 中的任意一个元素 \(g\) 和 \(\mathcal{C}\) 中的任意一个元素 \(c\)，定义运算 \(\cdot\) 满足 \(g\cdot c\in\mathcal{C}\)，且满足如下两个性质：

1. \(e\cdot c=c\)。
2. \((f*g)\cdot c=f\cdot(g\cdot c)\)。

则称 \(\mathcal{C}\) 为广义染色集合，\(\mathcal{C}\) 中的元素 \(c\) 是广义染色。

置换对染色的作用

对于置换 \(f\in S_n\) 的染色 \(c\in \mathcal{C}\)，定义置换 \(f\) 作用于 \(c\) 的结果为 \(f\cdot c\)，满足 \((f\cdot c)[i]=c[f^{-1}(i)]\)（相当于是沿着 \(f(i)\) 这条边走了一步）。

不难发现，它满足下面两个性质：

1. \(e\cdot c=c\)。
2. \((f*g)\cdot c=f\cdot(g\cdot c)\)。

也就是说，它符合广义染色的定义。

轨道——稳定子群定理

轨道

对于一个群 \(G\) 和一个染色 \(c\)，定义 \(c\) 在 \(G\) 中的轨道为：

\[G\cdot c=\{g\cdot c|g\in G\} \]

对于一个染色集合 \(X\subseteq\mathcal{C}\)，定义 \(G\cdot X=\{g\cdot c|g\in G,c\in X\}\)，若 \(G\cdot X=X\)，则称 \(X\) 在 \(G\) 下固定。

稳定子群

对于一个群 \(G\) 和一个染色 \(c\)，群中满足 \(g\cdot c=c\) 的 \(g\) 构成一个群，称之为染色 \(c\) 的稳定子群，记作 \(G_c\)。

证明为什么是一个子群：

考虑反证法。

设使得 \(g\cdot c=c\) 的 \(g\) 构成集合 \(H\)。

如果不是一个子群，那么必然存在 \(p,q\in H\)，使得 \(p*q\notin H\)。

因为 \(p\cdot c=c,q\cdot c=c\)，所以 \(p\cdot (q\cdot c)=c=(p*q)\cdot c\)，\(p*q\in H\)，与之前的假设矛盾。

因此，\(H\) 一定是 \(G\) 的子群。

轨道——稳定子群定理

对于群 \(G\) 和染色 \(c\)，有 \(|G\cdot c|\cdot|G_c|=|G|\)。

证明：

任取 \(g\in G\)，对于左陪集 \(gG_c\) 中的元素 \(g*h,h\in G_c\)，它作用于染色 \(c\) 的结果为 \((g*h)\cdot c=g\cdot(h\cdot c)=g\cdot c\)。

也就是说，对于 \(G_c\) 的每种不同的左陪集 \(H\)，\(H\) 内部的元素作用于 \(c\) 的结果相同。

另一方面，对于两个不同的左陪集 \(g_1G_c,g_2G_c\)，它们中的元素作用于 \(c\) 不能产生相同的结果。

否则，\(g_1\cdot c=g_2\cdot c\)，有 \((g_1^{-1}*g_2)\cdot c=c\)，那么 \(g_1^{-1}*g_2\in G_c\)，于是 \(g_2\in g_1G_c\)，矛盾。

因此，对于每种不同的陪集，对 \(c\) 作用的结果不同，陪集内部的元素作用的结果有分别相同。

由 Lagrange 定理，\(|G\cdot c|\cdot|G_c|=|G|\) 得证。

Burnside 引理

对于一个群中元素 \(g\) 和一个染色集合 \(X\subseteq \mathcal{C}\)，\(X\) 中满足 \(g\cdot c=c\) 的染色 \(c\) 的集合记作 \(X^g\)。

记 \(c_1\thicksim c_2\) 表示染色 \(c_1\) 和染色 \(c_2\) 本质相同。

\(c_1\thicksim c_2\) 当且仅当满足下列条件之一：

1. \(c_2\thicksim c_1\)。
2. \(\exist g\in G\)，使得 \(g\cdot c_1=c_2\)。
3. \(c_2\in G\cdot c_1\)。
4. \(G\cdot c_1=G\cdot c_2\)。

对于染色集合 \(X\subseteq \mathcal{C}\)，在群 \(G\) 的作用下 \(X\) 中本质不同的染色数等于 \(X\) 中所有元素在 \(G\) 中形成的不同轨道的数目，记作 \(|X/G|\)。

于是可以得到 Burnside 引理：

\[|X/G||G|=\sum_{g\in G}|X^g| \]

证明：

考虑计算 \(g\cdot c=c,g\in G,c\in\mathcal{C}\) 的数量。

可以枚举群中元素

\[\sum_{g\in G}|X^g| \]

也可以枚举染色

\[\sum_{c\in X}|G_c|=\sum_{c\in X}\frac{|G|}{G\cdot c}=|G|\sum_{c\in X}\frac{1}{|G\cdot c|} \]

每种轨道 \(G\cdot c\) 中的每种染色都会在轨道中贡献一次，因此

\[\sum_{c\in X}\frac{1}{|G\cdot c|}=|X/G| \]

因此

\[|X/G||G|=\sum_{g\in G}|X^g| \]