克拉克变换简单解释

请先尝试下面的2个示例

圆周磁场示例

自由合成示例

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将三相电流大小(有符号)记为:\(i_a,i_b,i_c\);
将电流通过线圈产生的磁场设\(I_a,I_b,I_c\)为磁向量,向量的模大小设定为电流大小;
执行基底分解3个磁向量可得:

\[\begin{align*} I_\alpha&=1\cdot i_a+\cos (120)\cdot i_b+\cos(240)\cdot i_c\\ &=i_a-\frac12i_b-\frac12 i_c \end{align*} \]

\[\begin{align*} I_\beta&=0\cdot i_a+\sin(120)\cdot i_b+\sin (240)\cdot i_c\\ &=\frac{\sqrt{3}}{2}i_b-\frac{\sqrt{3}}{2} i_c \end{align*} \]

根据基尔霍夫电流定律,有

\[i_a+i_b+i_c=0 \implies i_c=-i_a-i_b \]

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要实现合成一个圆周磁场,即圆心在原点随着时间\(t\)改变角度\(\theta,\theta \in(0,2\pi)\),\(R\)为半径,的一个向量:
\(I_s\)可表示为\(I_s=(R\cos \theta,R\sin \theta)\)
所以有:

\[\begin{align*} I_{s\alpha}&=R\cos \theta=i_a-\frac12i_b-\frac12 (-i_a-i_b) \\[20pt] I_{s\beta}&=R\sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}i_b-\frac{\sqrt{3}}{2} (-i_a-i_b) \\ \end{align*} \]

解一个二元一次方程:

\[\begin{cases} R\cos \theta=i_a-\frac12i_b-\frac12 (-i_a-i_b) &\\[15pt] R\sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}i_b-\frac{\sqrt{3}}{2} (-i_a-i_b) \end{cases}\implies \begin{cases} i_a=\frac{2}{3}R\cos \theta \\[15pt] i_b=\frac{2}{3}R\cos\left(\theta-\frac{2}{3}\pi\right) \end{cases} \]

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要合成一个任意方向任意大小的磁向量
等效于\(I_s=(R\cos \theta,R\sin \theta)\),在\(R,\theta\)取值确定,且\(\theta \in(0,2\pi)\)的情况下,有唯一解,这就是等幅值形式的克拉克变换;即合成磁场向量 \(I_s=(R\cos \theta,R\sin⁡\theta)\) 所需的电流指令：

\[i_a = \frac{2}{3} R \cos\theta,\quad i_b = \frac{2}{3} R \cos\left(\theta - \frac{2\pi}{3}\right),\quad i_c = -i_a - i_b = \frac{2}{3} R \cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) \]