古典概型之排列与组合

说明

注意由于是古典概型,适用范围仅限于

有限样本空间（样本点数量有限）；
等可能性（每个样本点的概率相等）。

排列数

引例

问1:在集合 ${a,b,c,d\}$ 中,任选4个,有多少种排列方式?
答:选第一个有4种可能,当第一个确定了第二个就有3种可能,依次类推:
显然为: $4\times 3\times 2\times 1=4!=24$ 即24种排列方式

问2:在集合 ${a,b,c,d\}$ 中,任选3个,有多少种排列方式?
答:选第一个有4种可能,当第一个确定了第二个就有3种可能,当确定了第一个和第二个,那么第三个就有2种可能;
显然为:
$4\times 3\times 2=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{1}=\frac{4!}{1}=24$
即24种排列方式

问3:在集合 ${a,b,c,d\}$ 中,任选2个,有多少种排列方式?
答:选第一个有4种可能,当第一个确定了第二个就有3种可能;
显然为:
$4\times 3=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}=\frac{4!}{2!}=12$
即12种排列方式

问4:在集合 ${a,b,c,d\}$ 中,任选1个,有多少种排列方式?
答:显然为4种可能,分别是a,b,c,d;显然也可以写作:
$4=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{3\times 2\times 1}=\frac{4!}{3!}=4$

综合上述可归纳总结为: 从 n 个不同元素中取出 m 个元素，按照一定顺序排成一列,出现的可能性个数为排列数。顺序不同即为不同的排列。(英文:Permutation也写作Arrangement),记为
$A(n,m)=P(n,m)=A^m_n=P^m_n$

计算公式为:
$A^m_n=\frac{n!}{(n-m)!}\\$
具体可能可以参考下图,与上述对应上;

组合数

引例

上述例子中,将有序的结果转为无序,即为组合数;
即将 ${a,b\},\{b,a\}$ 视作同一结果: ${a,b\}$ ;对于上例的24种 ${a,b,c,d\}$ 的排列来说,都视作一个;
那么上图的结果将变换为下图:

问5:在集合 ${a,b,c,d\}$ 中,任选4个,有多少种组合方式?
答:1种,即 ${a,b,c,d\}$ ,我们可以换一个方式去思考,这个问题; 其实是问1的答案除以24得到的,这个24显然是在abcd种选择4个元素有多少种排列方式,即 $A_4^4$
故而可以公式写为:
$C_{4}^{4}=\frac{A_4^4}{A_4^4}=1$
问6:在集合 ${a,b,c,d\}$ 中,任选3个,有多少种组合方式?
对于不含a的所有排列结果,是在bcd种选择3个元素有多少种排列方式,即 $A_3^3$ ;
对于不含b的所有排列结果,是在acd种选择3个元素有多少种排列方式,即 $A_3^3$ ;
对于不含c的所有排列结果,是在abd种选择3个元素有多少种排列方式,即 $A_3^3$ ;
对于不含d的所有排列结果,是在abc种选择3个元素有多少种排列方式,即 $A_3^3$ ;
上述的所有的排列结果加起来是问2的答案,即 $A_4^3$ ;每个情形都除以 $A_3^3$ ,等于之和除以 $A_3^3$ ;
即
$C_{4}^{3}=\frac{A_3^4}{A_3^3}=\frac{24}{6}=4$
归纳总结为:
$C^m_n=\frac{A^m_n}{A^m_m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

示例

某学生需从6门课程中选择3门参加考试，共有多少种选科方式？答: $C^{3}_{6}$
从一副标准的52张扑克牌中随机抽取5张，求抽到“同花顺”（同一花色且点数连续）的概率。
答:52随机抽取5张,有 $C^{5}_{52}$ 种可能,每个花色13张,每个花色可能出现的同花顺数量是10,则所有的同花顺组合一共40种,则 $P=\frac{40}{C^{5}_{52}}$
掷3个六面骰子，至少有一个骰子显示6的概率是多少？
答:3个骰子中选择1个骰子,有 $C^{1}_{3}$ 种选法; 假定是6,则另外2个不是6,则一共
$C^{1}_{3}\times1\times5\times5$ 的可能;同理可得; $75 + 15 + 1 = 91$ ,总共是 $6^3$ 可能吗,故 $P=\frac{91}{6^3}$
投掷12次均匀硬币,其中5枚向上的概率是多少?答: $C^{5}_{12}$

定义

从 n 个不同元素中取出 m 个元素，不考虑顺序地组合在一起。
常见3种写法,第三种常见在二项式系数中
$C(n,m)=C^m_n=\binom{n}{m}$

计算公式

即为排除了重复可能的排列数
$C^m_n=\frac{A^m_n}{A^m_m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

组合数恒等式

对称性

含义：从 $n$ 个元素中选择 $m$ 个元素的方法数，等于不选 $n - m$ 个元素的方法数。

$\binom {n}{m}=\binom {n}{n-m}$
证明:
$\begin{gather*} \binom {n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\\ \binom {n}{n-m}=\frac{n!}{n-m!(n-n+m)!}=\frac{n!}{(n-m)!m!} \end{gather*}$

递推式（帕斯卡恒等式）

含义：从 $n$ 个元素中选 $k$ 个元素的方法数，等于：

不选第 $n$ 个元素（即从 $n - 1$ 个元素中选 $k$ 个），或
选第 $n$ 个元素（即从 $n - 1$ 个元素中选 $k - 1$ 个）。

这是什么破含义,读不懂;举个例子把:从 ${a,b,c,d\}$ ,任选3个,有多少种选法?
显然有:以下4种可能,即 $C_4^3$ ,并且问含a和不含a的分别是哪些?
含 $a$ 元素的
- ${a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,c,d\}$
不含 $a$ 元素的
- ${b,c,d\}$
那么包含a元素的问题,可以转换为从 ${b,c,d\}$ 中任取2个,有多少种可能,即 $C_3^2$
那么不包含a元素的问题,可以转换为从 ${b,c,d\}$ 任取3个,有多少种可能,即 $C_3^3$
那么显然可得
$C_4^3=C_3^2+C_3^3$

简单推理可得:帕斯卡恒等式
$\binom {n}{m}=\binom {n-1}{m-1}+\binom {n-1}{m}$
下面介绍集合含义,即杨辉三角上的含义;
观察下面的杨辉三角.可见每个元素均为左上,右上2项元素之和:
$\begin{align*} & & & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 1 & & & \\ & & 1 & & 2 & & 1 & & \\ & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & \\ 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 \\ \end{align*}$

写成组合数的形式是这样的
$\begin{align*} & & & & C_0^0 & & & & \\ & & & C_1^0 & & C_1^1 & & & \\ & & C_2^0 & & C_2^1 & & C_2^2 & & \\ & C_3^0 & & C_3^1 & & C_3^2 & & C_3^3 & \\ C_4^0 & & C_4^1 & & C_4^2 & & C_4^3 & & C_4^4 \\ \end{align*}$

当然也可以写成这样,二项式一般这样表达
关于二项式定理,参见: 二项式定理以及证明过程
$\begin{align*} & & & & \binom{0}{0} & & & & \\ & & & \binom{1}{0} & & \binom{1}{1} & & & \\ & & \binom{2}{0} & & \binom{2}{1} & & \binom{2}{2} & & \\ & \binom{3}{0} & & \binom{3}{1} & & \binom{3}{2} & & \binom{3}{3} & \\ \binom{4}{0} & & \binom{4}{1} & & \binom{4}{2} & & \binom{4}{3} & & \binom{4}{4} \\ \end{align*}$

可以清晰的看出来,每一项 $\binom {n}{m}$ 均是左上元素 $\binom {n-1}{m-1}$ ,以及右上元素 $\binom {n-1}{m}$ 之和;

范德蒙恒等式

引例

问7:同问6:在集合 ${a,b,c,d\}$ 中,任选3个,有多少种组合方式?;如果拆分成2个非空子集,也是选3个会发生什么?**
答:显然是 $\binom{4}{3} =4$ ;若将集合拆成 $A, B$ ;2个不同的非空子集,有以下2组6个方式:
第一组:
$A={\{a\}},B={\{b,c,d\}};\\ A={\{b\}},B={\{a,c,d\}};\\ A={\{c\}},B={\{a,b,d\}};\\ A={\{d\}},B={\{a,b,c\}};\\$
第二组:
$A={\{a,b\}},B={\{c,d\}};\\ A={\{a,c\}},B={\{b,d\}};\\$

对于第一组而言,要在两组中分别取值,一共取3个,有2种取法

A取0个,B取3个;也就是 $A:\binom{1}{0};B:\binom{3}{3}$ ,共 $\binom{1}{0}\times \binom{3}{3}=1$ 种取法;
A取1个,B取2个; 也就是 $A:\binom{1}{1};B:\binom{3}{2}$ ,共 $\binom{1}{1}\times \binom{3}{2}=3$ 种取法;

共计
$\binom{1}{0}\times \binom{3}{3}+\binom{1}{1}\times \binom{3}{2}=4(种)$

对于第二组而言,要在两组中分别取值,一共取3个,有2种取法

A取1个,B取2个; 也就是 $A:\binom{2}{1};B:\binom{2}{2}$ ,共 $\binom{2}{1}\times \binom{2}{2}=2$ 种取法;
A取2个,B取1个; 也就是 $A:\binom{2}{2};B:\binom{2}{1}$ ,共 $\binom{2}{2}\times \binom{2}{1}=2$ 种取法;

共计
$\binom{2}{1}\times \binom{2}{2}+\binom{2}{2}\times \binom{2}{1}=4(种)$

通过上例,至少可以看出,一个组合数,可以被任意拆成两部分的非空子集;通过某种方式求和得到;

问8:在集合 ${a,b,c,d\}$ 中,任选2个,有多少种组合方式?如果拆分成2个非空子集,如何?
答1: $\binom{4}{2}=6$
答2:拆法同上应有以下2类;分别考虑:
$第一组:\quad A={\{a\}},B={\{b,c,d\}};\\ \cdots\\ 第二组:\quad A={\{a,b\}},B={\{c,d\}};\\ \cdots$
对于第一组而言,要在两组中分别取值,一共取2个,有2种取法

A取0个,B取2个;也就是 $A:\binom{1}{0};B:\binom{3}{2}$ ,共 $\binom{1}{0}\times \binom{3}{2}=3$ 种取法;
A取1个,B取1个; 也就是 $A:\binom{1}{1};B:\binom{3}{1}$ ,共 $\binom{1}{1}\times \binom{3}{1}=3$ 种取法;
共计
$\binom{1}{0}\times \binom{3}{2}+\binom{1}{1}\times \binom{3}{1}=6(种)$

对于第二组而言,要在两组中分别取值,一共取2个,有3种取法
3. A取0个,B取2个;也就是 $A:\binom{2}{0};B:\binom{2}{2}$ ,共 $\binom{2}{0}\times \binom{2}{2}=1$ 种取法;
4. A取1个,B取1个;也就是 $A:\binom{2}{1};B:\binom{2}{1}$ ,共 $\binom{2}{1}\times \binom{2}{1}=4$ 种取法;
5. A取2个,B取0个;也就是 $A:\binom{2}{2};B:\binom{2}{0}$ ,共 $\binom{2}{2}\times \binom{2}{0}=1$ 种取法;
共计
$\binom{2}{0}\times \binom{2}{2}+\binom{2}{1}\times \binom{2}{1}+\binom{2}{2}\times \binom{2}{0}=6(种)$

归纳总结,若将组合数 $\binom{m}{n}$ 拆成2部分 $\binom{a+b}{n},m=a+b$ ,应有这样的猜想:
$\binom{a+b}{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{a}{k}\binom{b}{n-k}$

具体的证明可以用生成函数去证明,主要是用到二项式定理,这里不展开说了;

带权和恒等式

引例

问8:集合 ${a,b,c,d\}$ 有多少个子集?
答: $2^4$ 个子集,每个元素都有2个选择,即在子集中,或不在子集中;则 $2\times2\times2\times2=16$ 个子集;
从组合数角度:
$\begin{align*} &\binom{4}{0}+\binom{4}{1}+\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4}\\ =&\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \quad ,n=4 \\ =&1+4+6+4+1\\ =&16 \end{align*}$

整理为:
$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n$

问8:在集合 ${a,b,c,d\}$ 中,任选3个元素后;再选取1个元素,有多少种选法;
答:即执行先执行4选3,然后执行3选1:;
$\binom{4}{3}\times \binom{3}{1}=4 \times 3 = 12(种)$
或者可以我们4选1,然后在剩余的3个种选2个,即:
$\binom{4}{1}\times \binom{3}{2}=4 \times 3 = 12(种)$

推广到一般情况:从 $n$ 个元素中选 $k$ 若干个元素，再选取 $1$ 个元素，有多少种方法？
$\begin{align*} \binom{n}{k}\times \binom{k}{1}&=\binom{n}{1}\times \binom{n-1}{k-1}\\ \binom{n}{k}\times k &= n \times \binom{n-1}{k-1}\\ k \binom{n}{k} &= n \binom{n-1}{k-1} \end{align*}$

利用恒等式 $\binom{n}{k} = n \binom{n-1}{k-1}$ ，展开求和：
$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n} k \binom{n}{k} &= \sum_{k=1}^{n} n \binom{n - 1}{k - 1} \\ &= n \sum_{k=0}^{n - 1} \binom{n - 1}{k} \\ &= n \cdot 2^{n - 1} \end{align*}$
求得恒等式
$\sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} = n \cdot 2^{n - 1}$
再次证明:
$\begin{align*} (1+x)^n&= \sum_{k=0}^{n}\binom {n}{k}1^{n-k}x^{k}\\ (1+x)^n&= x^0 \binom n0 +x^1 \binom n1+x^2 \binom n2+\cdots +x^n \binom nn\\ [(1+x)^n]'&= [x^0 \binom n0 +x^1 \binom n1+x^2 \binom n2+\cdots +x^n \binom nn]'\\ n(1+x)^{n-1}&= 0+1x^0 \binom n1+2x^1 \binom n2+\cdots +nx^{n-1} \binom nn\\ 令x&\rightarrow 1\\ n \cdot 2^{n-1}&= 0+1\binom n1+2 \binom n2+\cdots +n \binom nn\\ n \cdot 2^{n - 1} &= \sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k}\\ \end{align*}$

附一个表格参考把

序号	恒等式名称	数学表达式	实际含义
1	对称性	$\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$	从 $n$ 个物品中选 $k$ 个，与选 $n - k$ 个未被选的物品数量相同。例如：从 10 个学生中选 3 人参赛，与选 7 人未参赛的数量相等。
2	吸收恒等式	$\binom{n}{k} = n \binom{n - 1}{k - 1}$	从 $n$ 个物品中选 $k$ 个并指定其中一个为“特殊”，等价于先指定一个特殊物品，再从剩余 $n - 1$ 个中选 $k - 1$ 个。例如：从 10 人中选 5 人组成委员会并指定主席，可先选主席再选其余成员。
3	帕斯卡恒等式	$\binom{n}{k} = \binom{n - 1}{k - 1} + \binom{n - 1}{k}$	从 $n$ 个物品中选 $k$ 个，分为两种情况：包含某特定物品（ $\binom{n - 1}{k - 1}$ ）或不包含（ $\binom{n - 1}{k}$ ）。例如：从 5 个蛋糕中选 2 个，分为包含“巧克力蛋糕”和不包含的情况。
4	二项式定理展开	$1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$	从 $n$ 个选项中每项选或不选的总方案数为 $2^n$ 。例如：从 5 道菜中任意选或不选，总共有 $2^5 = 32$ 种搭配方式。
5	范德蒙德卷积	$\sum_{k=0}^{r} \binom{m}{k} \binom{n}{r - k} = \binom{m + n}{r}$	从 $m$ 个红球和 $n$ 个蓝球中选 $r$ 个球，总方案数等于直接从 $m + n$ 个球中选 $r$ 个。例如：从 3 个红球和 4 个蓝球中选 2 个，总方案数为 $\binom{7}{2} = 21$ 。
6	组合数求和公式	$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$	所有子集的总数为 $2^n$ 。例如：从 3 门课程中选任意数量的课程，总共有 $2^3 = 8$ 种选择方式。
7	带权求和公式	$\sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} = n \cdot 2^{n - 1}$	所有子集的大小之和为 $\cdot 2^{n - 1}$ 。例如：从 3 个学生中选任意小组，所有小组的总人数为 $\cdot 2^{2} = 12$ 。
8	组合数平方和公式	$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$	从 $n$ 个男生和 $n$ 个女生中各选 $k$ 人，总方案数为 $\binom{2n}{n}$ 。例如：从 3 个男生和 3 个女生中各选 2 人组成小组，总方案数为 $\binom{6}{2} = 15$ 。
9	组合数递推公式	$\binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n - 1}{k - 1}$	通过递推关系计算组合数。例如：计算 $\binom{5}{2}$ ，可先计算 $\binom{4}{1} = 4$ ，再乘以 $5/2$ 得到 $10$ 。
10	组合数与排列的关系	$\binom{n}{k} = \frac{P(n, k)}{k!}$	从 $n$ 个物品中选 $k$ 个并排列，除以排列顺序后的组合数。例如：从 4 本书中选 2 本并排列为 $P (4, 2) = 12$ ，组合数为 $12/2! = 6$ 。

posted @ 2025-07-08 17:26 tomcat4014 阅读(173) 评论(0) 收藏举报来源

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