二项式定理以及证明过程

二项式定理公式表达为:

$\boxed{(a+b)^n= \sum_{k=0}^{n}\binom {n}{k}a^{n-k}b^{k}=\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}a^{n-k}b^{k}}$

证明

对于二项式乘法,有
$\begin{align*} (a+b)(c+d)&=ac+bd+bc+bd\\ (a+b)(c+d)(e+f)&=ace+acf+ade+adf+bce+\cdots \end{align*}$
可见对于每一项,都是二项式中的任意两项之积,对于以下二项式来说:
$\begin{align*} (a+b)^3&=(a+b)(a+b)(a+b)\\ &=aaa+aab+aba+abb\\ &+baa+bab+bba+bbb \end{align*}$
包含 $0$ 个 $a$ (或者说是包含 $3$ 个 $b$ )单项式, 则有 $1$ 种取法,即 $bbb$ ;
以下是包含 $k$ 个 $a$ (或者说是 $3 - k$ 个 $b$ 数量),出现可能性的表:

含a数量	可能结果	计数	结果化简
0	$bbb$	1	$b^3$
1	$abb, bab, bba$	3	$ab^2$
2	$aab, aba, baa$	3	$a^2b$
3	$aaa$	1	$a^3$

可以看出,每一项的可能结果个数,即 $k$ 个 $a$ 和 $3 - k$ 个 $b$ ,有多少种组合形式;即 $C_3^k$ 种可能,或常写作 $(3k)\binom{3}{k}$ ;

更一般的:对于以下表达式:
$(a+b)^n=(a+b)(a+b)\cdots(a+b)\\$
存在:

项 $a^n$ ,出现次数为 $(nn)\binom nn$ 次,即1次;
项 $a^{n-1}b$ ,出现次数为 $(nn−1)\binom n{n-1}$ 次;
项 $a^kb^{n-k}$ ,出现次数为 $(nk)\binom n{k}$ 次; $,nk,k=0,1,2,3,4,\cdots,n$

则推导出:
$\begin{align*} (a+b)^n&=\binom {n}{n}a^nb^0+\binom {n}{n-1}a^{n-1}b^{1}+\binom {n}{n-2}a^{n-2}b^{2}+\cdots+\binom {n}{0}a^{0}b^{n}\\ &=\sum_{k=0}^{n}\binom {n}{n-k}a^{n-k}b^{k} \Leftrightarrow \sum_{k=0}^{n}\binom {n}{k}a^{n-k}b^{k} \end{align*}$

附录

最后一行的应用组合数恒等式:
$\binom {n}{k}=\binom {n}{n-k}$
证明:
$\begin{gather*} \binom {n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\\ \binom {n}{n-k}=\frac{n!}{n-k!(n-n+k)!}=\frac{n!}{(n-k)!k!} \end{gather*}$

posted @ 2025-07-07 16:27 tomcat4014 阅读(8) 评论(0) 收藏举报来源

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