【常见分布及其特征(3)】离散型随机变量-二项分布

二项分布

应用场景实例

一面不均匀的硬币,抛出为正面的概率是0.8;连续抛出12次,问出现5次正面的概率是多少?一般的,出现$0,1,2,\cdots ,12$次正面的概率分别是多少?

辨析

注意,对于本例,每一次抛出,单独拿出来,可以认为服从伯努利分布;
此例执行了12次,注意注意,伯努利分布的样本空间为$\{正,反\}$,而此例的样本空间为出现正面的次数,即$\{0,1,2,\cdots ,12\}$,故而研究的"自变量"发生了变化,即随机变量的定义方式不同了,
本例的连续12次,即总共执行的次数,记为$n$,又可称为12重伯努利试验;

定义

$n$次独立重复的伯努利试验（成功/失败），统计成功次数$k（0\le k\le n）$,基于这个的定义出现的分布称为二项分布
记法:
$$\boxed{X\sim B(n,p)或X\sim \text{Binomial}(n,p)}$$
读作:$X$服从参数为$n$和$p$的二项分布;可见,其实伯努利分布是$n=1$的二项分布;

随机变量

随机变量即定义为出现正面的次数,一共执行了n次,则出现正面的上限是n次,下限是0次;显然:
$$X\in \{0,1,2,\dots ,n\}：表示n次试验中成功次数。$$

参数

- $n$:重复执行的次数是参数,可以取值$n\in\mathbb N^+$;(本例中的12)
- $p$:单次试验的成功概率,$p\in(0,1)$;(本例中的0.8)

函数表达

我们首先解决本例题,题目整理为:
已知$n=12,p=0.8,X\in \{0,1,2,\dots ,12\};$
问1:$P(X=5)$
12次抛出,出现5次正面;可能的情况列表如下有(0代表反面,1代表正面):

编号	抛硬币结果（12位）
1	1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
2	1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0
3	1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0
4	1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
5	1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0

我列不下去了,因为太多了,我们算算有多少种可能性把,显然是一个组合数,即$C_{12}^5$或写为$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{5}\right)$计算得到$792$种可能性;

组合数$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$表示从 $n$ 次试验中选择 $k$ 次成功（正面）的位置，其余 $n-k$ 次为失败（反面）。

那出现上表种的编号为1的事件的可能性是多少呢?
由于每一次抛出是独立事件,独立事件的性质：每次抛硬币的结果互不影响,独立事件同时发生的概率直接相乘即可,故而为:
$0.8\times 0.8\times 0.8\times 0.8\times 0.8\times 0.2\times 0.2\times 0.2\times 0.2\times 0.2\times 0.2\times 0.2\times 0.2$即$0.8^5\times 0.2^7$在792种可能的结果的概率无非是顺序不同,故而每一种可能性的发生的概率均相同;然后求和不就是答案吗?
即:
$$P(X=5)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{5}\right)\times 0.8^5\times 0.2^7=792\times 0.8^5\times 0.2^7$$

问2:$P(X=k),k=0,1,2,\dots ,12$
同理:
$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{k}\right)\times 0.8^k\times 0.2^{12-k}$$

更一般的,对于$n$重伯努利试验,概率质量函数我们可以归纳为:
$$\boxed{P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\dots ,n}$$

校验公式:若上述概率质量函数正确,那么应有,即所有可能结果的概率之和为1
$$\sum _{k=0}^{n}P(X=k)=1$$
证明:
∑ k = 0 n P ( X = k ) = ∑ k = 0 n ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k 令 ( 1 − p ) → q ∑ k = 0 n P ( X = k ) = ∑ k = 0 n ( n k ) p k q n − k \begin{gather*} \sum_{k=0}^nP(X=k)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\\ 令(1-p)\rightarrow q\\ \sum_{k=0}^nP(X=k)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}p^kq^{n-k}\\ \end{gather*}