【常见分布及其特征(4)】离散型随机变量-泊松分布
泊松分布
应用场景实例
1.某一包子铺,经过长期经营,得到平均每日可以卖出包子8个,问任意一日一个包子都没卖出去的概率是多少?(每卖出一个包子的事件均相互独立)
2.某一电子厂,长期制造一产品,平均每件产品上的缺陷数是4个,问随机抽取一个产品,产品上的缺陷数量有
k
,
k
=
1
,
2
,
3
,
⋯
,
n
k,k=1,2,3,\cdots,n
k,k=1,2,3,⋯,n个的概率分别是多少?(出现缺陷的事件均相互独立)
定义
泊松分布（Poisson Distribution）是一种离散型概率分布，用于描述在固定时间或空间内，独立随机事件发生次数的概率分布
记法:
X
∼
π
(
λ
)
或
X
∼
Poisson
(
λ
)
\boxed{X \sim \pi(\lambda)\quad或\quad X\sim \text{Poisson}(\lambda)}
X∼π(λ)或X∼Poisson(λ)
读作:
X
X
X服从参数为
λ
\lambda
λ的泊松分布;
随机变量
依据定义,随机变量即独立随机事件发生的次数:
示例:
-
某客服中心平均每小时接到 5 个电话,求某小时内接到 恰好 3 个电话 的概率。
设随机变量 X X X,表示某小时恰好同时 k = 0 , 1 , 2 , 3 ⋯ 20 k=0,1,2,3\cdots20 k=0,1,2,3⋯20接到个电话; -
某路口平均每 24 小时发生 1 起事故,求某天内发生 至少 1 起事故 的概率。
设随机变量 X X X,表示每 24 小时恰好发生 k = 0 , 1 , 2 , 3 ⋯ 20 k=0,1,2,3\cdots20 k=0,1,2,3⋯20起事故; -
某种放射性物质每分钟平均释放 100 个粒子,求下一分钟内释放 120 个粒子 的概率。
设随机变量 X X X,表示放射性物质每分钟恰好释放 k = 0 , 1 , 2 , 3 ⋯ 20 k=0,1,2,3\cdots20 k=0,1,2,3⋯20个粒子; -
某商店平均每小时有 30 位顾客到店,求某小时内有 40 位顾客到店的概率。
设随机变量 X X X,表示每小时恰好有 k = 0 , 1 , 2 , 3 ⋯ 20 k=0,1,2,3\cdots20 k=0,1,2,3⋯20位顾客到店;
参数
泊松分布只有一个参数,就是平均发生率. λ , λ > 0 \lambda,\lambda>0 λ,λ>0
函数表达
我们首先解决本例题,题目整理为:
解1
首先考虑此问题是否有解;首先平均每日卖出8个,从常识角度考虑,任意一天卖出数量最多的应该是8个,当然卖出的数量可能是6个,7个;也可能是9个,10个;更多更少的情形应该随着数值越远离8,可能性越小;举个例子,这天老板祖坟冒青烟,卖出去了90000个包子,显然可能性无限接近0;(实际老板学过概率论,所以老板没这个可能赚到这个钱,他完全猜不到这种情况,所以没备料); 所以这个概率的分布有一个大致的形状,也就是以8为中心的,越往两边越小,而且应该是快速下降的趋势,那么就应该有解;
假设每天老板都做了20个包子,那么卖出去的包子最多是20个(或者理解为一天划分成了20等分,每一个时间都可能卖出去或没有卖出去1个包子),那么就有,每个包子存在2个可能,卖出去了,没卖出去;并且任意一个卖出去的概率就是
8
20
\frac{8}{20}
208,那么某天一个没卖出去的概率就是?
设随机变量
X
X
X,表示恰好同时
k
=
0
,
1
,
2
,
3
⋯
20
k=0,1,2,3\cdots20
k=0,1,2,3⋯20个包子卖出去了;那么有
X
∼
B
(
20
,
0.4
)
X\sim B(20,0.4)
X∼B(20,0.4);求
P
(
X
=
0
)
P(X=0)
P(X=0)
P
(
X
=
0
)
=
(
20
0
)
0.
4
0
0.
6
20
=
0.000036
P(X=0)=\binom{20}{0}0.4^00.6^{20}=0.000036
P(X=0)=(020)0.400.620=0.000036
或者更简单的理解为
(
1
−
8
20
)
20
(1-\frac{8}{20})^{20}
(1−208)20
显然,貌似和老板每天做了多少的包子有关;设老板每天做的包子有
n
n
n个,那么每天卖出0个的概率就为:
f
(
n
)
=
(
1
−
8
n
)
n
lim
n
→
∞
=
e
−
8
\begin{gather*} f(n)=(1-\frac{8}{n})^{n}\\ \lim_{n \rightarrow \infty}=e^{-8} \end{gather*}
f(n)=(1−n8)nn→∞lim=e−8
可以看出,老板每天准备的包子越多(时间划分的越),则一个也卖不出去的概率越小,最小为 e − 8 e^{-8} e−8
设为 n , n → ∞ n,n\rightarrow \infty n,n→∞ 那这个平均值;
解2
每件产品上的缺陷数设为
n
n
n,题意可知,每件产品可能出现的缺陷数是无穷多个;那么设为
n
→
∞
n\rightarrow \infty
n→∞;
设随机变量
X
X
X,表示恰好此产品同时
k
=
0
,
1
,
2
,
3
⋯
n
k=0,1,2,3\cdots n
k=0,1,2,3⋯n存在
k
k
k个缺陷;由于均值为4,实际就意味着期望:
E
(
X
)
=
4
E(X)=4
E(X)=4;对于二项分布有:
E
(
X
)
=
n
p
=
4
E(X)=np=4
E(X)=np=4
则有:
p
=
4
n
p=\frac4n
p=n4,代入概率质量函数:
P
(
X
=
k
)
=
(
n
k
)
(
4
n
)
k
(
1
−
4
n
)
n
−
k
,
k
=
0
,
1
,
…
,
n
P(X=k)=\binom{n}{k}(\frac4n)^k(1-\frac4n)^{n-k},\quad k=0,1,…,n
P(X=k)=(kn)(n4)k(1−n4)n−k,k=0,1,…,n
存在
n
→
∞
n\rightarrow \infty
n→∞化简此式:
P
(
X
=
k
)
=
lim
n
→
∞
(
n
k
)
(
4
n
)
k
(
1
−
4
n
)
n
−
k
=
lim
n
→
∞
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
⋯
(
n
−
k
+
1
)
k
!
(
4
n
)
k
(
1
−
4
n
)
n
−
k
\begin{align*} P(X=k)&=\lim_{n \rightarrow \infty}\binom{n}{k}(\frac4n)^k(1-\frac4n)^{n-k}\\ &=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)}{k!}( \frac4n)^k(1-\frac4n)^{n-k}\\ \end{align*}
P(X=k)=n→∞lim(kn)(n4)k(1−n4)n−k=n→∞limk!n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)(n4)k(1−n4)n−k
[ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) ] n k ⋅ n − k = n k ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) ⋅ ( 1 − n k − 1 ) 当 n → ∞ = n k \begin{align*} &[n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)]n^k\cdot n^{-k}\\ &=n^k(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdot(1- n^{k-1})\\ &当n \rightarrow \infty\\ &=n^k \end{align*} [n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)]nk⋅n−k=nk(1−n1)(1−n2)⋅(1−nk−1)当n→∞=nk
P ( X = k ) = lim n → ∞ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ! ( 4 n ) k ( 1 − 4 n ) n − k = lim n → ∞ 1 k ! ⋅ n k ( 4 n ) k ( 1 − 4 n ) n − k = lim n → ∞ 1 k ! ⋅ 4 k ( 1 − 4 n ) n − k = 4 k k ! ⋅ e − 4 \begin{align*} P(X=k)&=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)}{k!}( \frac4n)^k(1-\frac4n)^{n-k}\\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{k!}\cdot n^k( \frac4n)^k(1-\frac4n)^{n-k}\\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{k!}\cdot 4^k(1-\frac4n)^{n-k}\\ &= \frac{4^k}{k!}\cdot e^{-4}\\ \end{align*} P(X=k)=n→∞limk!n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)(n4)k(1−n4)n−k=n→∞limk!1⋅nk(n4)k(1−n4)n−k=n→∞limk!1⋅4k(1−n4)n−k=k!4k⋅e−4
可视化查看极限过程: 二项分布逼近泊松分布过程
可见泊松分布其实是
n
→
∞
,
p
=
λ
n
n \rightarrow \infty,p=\frac{\lambda}{n}
n→∞,p=nλ,的二项分布;故而
n
n
n较大,p较小的二项分布可以使用泊松分布近似;
故泊松分布的公式定义为
P
(
X
=
k
)
=
λ
k
e
−
λ
k
!
,
k
=
0
,
1
,
2
,
⋯
\boxed{P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,\cdots}
P(X=k)=k!λke−λ,k=0,1,2,⋯
应用条件
泊松分布要求:
- 独立性：每次试验相互独立；
- 恒定平均发生率：平均发生率 λ \lambda λ 保持不变。
- 低概率：重要,由于平均发生率不变,即期望不变,要使得 n → ∞ n \rightarrow \infty n→∞,则必然 p → 0 p \rightarrow 0 p→0;这要求事件只能在低概率,发生情况下,才适用泊松分布
分布特征值
由泊松分布定义可得:
E
(
X
)
=
Var(X)
=
λ
E(X)=\text{Var(X)}=\lambda
E(X)=Var(X)=λ
例题
一电话收每分钟收到呼叫的次数平均为4次(服从泊松分布);
问1:求某一分钟恰好有6次呼叫的概率?
问2:某一分钟收到的呼叫大于3次的概率?
解: 设随机变量
X
X
X为每分钟恰好收到
k
k
k次呼叫;则
X
∼
π
(
4
)
X\sim \pi(4)
X∼π(4);则:
P
(
X
=
6
)
=
λ
k
e
−
λ
6
!
=
4
6
e
−
4
6
!
≈
0.104
P
(
X
>
3
)
=
1
−
P
(
X
=
0
)
−
P
(
X
=
1
)
−
P
(
X
=
2
)
−
P
(
X
=
3
)
=
1
−
4
0
e
−
4
0
!
−
4
1
e
−
4
1
!
−
4
2
e
−
4
2
!
−
4
3
e
−
4
3
!
≈
1
−
0.0183
−
0.0732
−
0.1465
−
0.1954
=
0.5666
\begin{align*} P(X=6)&=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{6!}\\ &=\frac{4^6e^{-4}}{6!}\approx0.104\\ P(X>3)&=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)\\ &=1-\frac{4^0e^{-4}}{0!}-\frac{4^1e^{-4}}{1!}-\frac{4^2e^{-4}}{2!}-\frac{4^3e^{-4}}{3!}\\ &\approx 1-0.0183-0.0732-0.1465-0.1954=0.5666 \end{align*}
P(X=6)P(X>3)=6!λke−λ=6!46e−4≈0.104=1−P(X=0)−P(X=1)−P(X=2)−P(X=3)=1−0!40e−4−1!41e−4−2!42e−4−3!43e−4≈1−0.0183−0.0732−0.1465−0.1954=0.5666
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