MATH Day 05 - 陪集理论与结构分解

Day 05：陪集理论与结构分解

陪集的核心思想：分解

一个例子： 考虑 \(\mathbb{Z}^+\) 和 \(n\) ：

  • \([0] = \{ \dots, -2n, -n, 0, n, 2n, \dots \} = \{ kn, k \in \mathbb{Z} \}\)
  • \([1] = \{ \dots, -2n+1, -n+1, 1, n+1, 2n+1, \dots \} = \{ kn+1, k \in \mathbb{Z} \}\)
  • \(\vdots\)
  • \([n-1] = \{ \dots, \dots, \dots, \dots \} = \{ kn+n-1, k \in \mathbb{Z} \}\)

这 \(n\) 个集合有如下性质：

  1. 它们两两不交。
  2. 它们的并集为 \(\mathbb{Z}\)。
  3. 每个集合都可以写成 \(a + n\mathbb{Z}\) 的形式，其中 \(n\mathbb{Z} = \{ kn : k \in \mathbb{Z} \}\)。

等价关系的公理化定义：

  1. 自反性：\(\forall x \in X\)，有 \(x \sim x\)。
  2. 对称性：\(\forall x, y \in X\)，若 \(x \sim y\)，则 \(y \sim x\)。
  3. 传递性：\(\forall x, y, z \in X\)，若 \(x \sim y\) 且 \(y \sim z\)，则 \(x \sim z\)。

等价类：

设 \(\sim\) 是 \(X\) 上的等价关系，则 \(x \in X\)，\(x\) 的等价类为：

\[[x] = \{ y \in X : y \sim x \} \]

所有等价类构成的集合称为 \(X\) 的商集 (\(X/\sim\))。

等价类的基本性质：

  1. \(\forall x \in X, [x] \neq \emptyset\)。
  2. \(\forall x, y \in X\)，要么 \([x] = [y]\)，要么 \([x] \cap [y] = \emptyset\)。
  3. \(X = \bigsqcup_{[x] \in X/\sim} [x]\) （不交并）。

证明 2： 若 \(\exists z \in [x] \cap [y]\)，则 \(x \sim z \sim y \Rightarrow x \sim y \Rightarrow [x] = [y]\)。 补 \(\square\)。

陪集的严格化定义：

  • 左陪集：\((G, \cdot)\) 是群，\(H \le G\)，\(g \in G\)，\(g\) 关于 \(H\) 的左陪集 \(gH\)：

    \[gH = \{ gh : h \in H \} \]

  • 右陪集：同理可定义 \(Hg = \{ hg : h \in H \}\)。

注意：在非 Abel 群中，\(gH\) 与 \(Hg\) 通常不同。

陪集的本质：由于子群诱导的等价类

定义 \(G\) 上的关系：

  • \(\sim_L\)：\(a \sim_L b \iff a^{-1}b \in H\)。（易证其满足等价关系公理）
  • \(\sim_R\)：\(a \sim_R b \iff ab^{-1} \in H\)。（证明类似）

陪集的代数性质：

  1. \(aH = H \iff a \in H\)
  2. \(aH = bH \iff a^{-1}b \in H \iff b \in aH\)
  3. \(aH \cap bH = \emptyset\) 或 \(aH = bH\) （注：即陪集构成划分）
  4. \(|aH| = |H|\)
  5. \(G = \bigsqcup_{aH \in G/H} aH\)

重点证明 ① 和 ④：

  • 证明 ①：
    • \((\Rightarrow)\) 若 \(aH = H\)，则 \(ae \in aH = H \implies a \in H\)。
    • \((\Leftarrow)\) 若 \(a \in H\)，则 \(\forall h \in H, ah \in H \therefore aH \subseteq H\)；又 \(h = a(a^{-1}h) \in aH \therefore H \subseteq aH\)。故 \(H = aH\)。 \(\square\)
  • 证明 ④：
    • 构造映射 \(\phi: H \to aH, \phi(h) = ah\)。
    • 显然是双射（单性由群的消去律保证，满性由定义保证），\(\therefore |aH| = |H|\)。 \(\square\)

陪集代表元：

设 \(aH\) 是一个左陪集，则 \(aH\) 中任何元素均可作为陪集代表元。

\[b \in aH \implies bH = aH \]

陪集分解定理

设 \(H\) 为 \(G\) 的子群，\(H\) 在 \(G\) 中的指数 (index) 为左陪集个数，记作 \([G:H]\) 或 \(|G/H|\)。令右陪集个数记作 \(|H \backslash G|\)。

定理 1：\(|G/H| = |H \backslash G|\)，皆记作 \([G:H]\)。

证明：定义映射 \(\psi: G/H \to H \backslash G\)，\(\psi(aH) = Ha^{-1}\)。

  • 良定义性：若 \(aH = bH\)，则 \(a^{-1}b \in H\)。由于 \(H\) 是子群，其逆元亦在 \(H\) 中，故 \((a^{-1}b)^{-1} = b^{-1}a \in H \implies b^{-1} \in Hb^{-1} = Ha^{-1}\)，因此 \(Ha^{-1} = Hb^{-1}\)。
  • 单射性：\(Ha^{-1} = Hb^{-1} \implies a^{-1}(b^{-1})^{-1} \in H \implies a^{-1}b \in H \implies aH = bH\)。
  • 满射性：\(\forall Ha \in H \backslash G\)，存在左陪集 \(a^{-1}H \in G/H\) 使得 \(\psi(a^{-1}H) = H(a^{-1})^{-1} = Ha\)。
    \(\therefore \psi\) 是双射。 \(\square\)

注：此定理的证明深刻体现了 \(aH\) 和 \(Ha^{-1}\) 的一一对应关系。（见笔记中的示意图：\(G\) 空间内通过 \(x \mapsto x^{-1}\) 的变换实现左右陪集的对应）。

定理 2（陪集分解定理）：

设 \(H \le G\)，存在 \(G\) 的子集 \(T\)，使得：

\[G = \bigsqcup_{t \in T} tH \]

且 \(|T| = [G:H]\)。

\(H\) 是 \(G\) 的子群，\(G\) 的子集 \(T\) 称为 \(H\) 的完全左代表系 (transversal)。若：

  1. 对每个 \(aH\)，\(T\) 中恰有一个元素 \(t \in aH\)。
  2. 等价地，\(|T| = [G:H]\) 且 \(G = \bigcup_{t \in T} tH\)。

例：\(G = \mathbb{Z}, H = 3\mathbb{Z}\)

则 \(T_1 = \{0, 1, 2\}\), \(T_2 = \{0, 1, -1\}\), \(T_3 = \{3, 7, 11\}\) 均为 \(H\) 的完全左代表系。元素个数总是 \([G:H] = 3\)。

补充内容

A. 为什么映射 \(\psi(aH) = Ha\) 不可行？

在初学时，很多人会尝试定义 \(\psi(aH) = Ha\)。但请注意，如果群 \(G\) 不是交换群，这个映射往往不是良定义的。

  • 若 \(aH = bH\)，我们只能得到 \(a^{-1}b \in H\)，并不能直接推出 \(ab^{-1} \in H\)。
  • 而你的笔记中使用的 \(\psi(aH) = Ha^{-1}\) 巧妙地利用了 \((a^{-1}b)^{-1} = b^{-1}a\)，这正是群论中“逆”操作交换运算次序的特性。这是一个非常经典的技巧。

子群的指标与指标的乘法性

设 \(K \le H \le G\)，则：

\[[G : K] = [G : H][H : K] \]

构造性证明：若 \(\{a_i\}\) 是 \(H\) 在 \(G\) 中的左代表系，\(\{b_j\}\) 是 \(K\) 在 \(H\) 中的左代表系，则 \(\{a_i b_j\}\) 是 \(K\) 在 \(G\) 中的完全左代表系。

简要证明不交性：若 \(a_i b_j K = a_{i'} b_{j'} K\)，则 \(a_i b_j \in a_{i'} b_{j'} K \subseteq a_{i'} H\)。
由于 \(a_i b_j \in a_i H\) 且 \(a_i b_j \in a_{i'} H\)，根据陪集不交性得 \(a_i = a_{i'}\)。
于是 \(a_i b_j K = a_i b_{j'} K \implies b_j K = b_{j'} K\)（左消去律），即 \(j = j'\)。 \(\square\)

洞察：由 \([G : H] = |G|/|H|\) 可步证明（有限群），但通过完全左代表系能够洞察结构本质。

陪集的乘法结构

定义集合的积：\((aH)(bH) = \{ah_1 bh_2 : h_1, h_2 \in H\}\)。
以下条件等价：

  1. \(\forall a, b \in G, (aH)(bH) = abH\)。 （这是商群的核心工具）
  2. \(\forall g \in G, gH = Hg\)。
  3. \(\forall g \in G, gHg^{-1} = H\)。
  4. \(H\) 是 \(G\) 的正规子群（Normal Subgroup）。

证明 (1) \(\Rightarrow\) (3)：
取 \(b = a^{-1}\) 得 \((aH)(a^{-1}H) = aa^{-1}H = H\)。
即 \((aHa^{-1})H = H \implies aHa^{-1} \subseteq H\)。
同理，取 \(a^{-1}\) 代替 \(a\) 可得 \(a^{-1}Ha \subseteq H \implies H \subseteq aHa^{-1}\)。
则 \(H = aHa^{-1}\)，即 \(aH = Ha\)。 \(\square\)

结论：陪集能自然地构成群，当且仅当子群是正规子群。

陪集的高级视角

群作用与陪集：设 \(G\) 是群，\(H \le G\)。考虑 \(H\) 对 \(G\) 的作用：\(H \times G \to G, (h, g) \mapsto hg\)。
在上述 \(H\)-作用下，\(g \in G\) 的轨道恰好为右陪集 \(Hg\)：

\[\text{Orb}_H(g) = \{hg : h \in H\} = Hg \]

补充

C. 群作用视角的进一步延伸：商空间 \(G/H\)

你笔记中提到 \(H\) 作用在 \(G\) 上得到轨道 \(Hg\)。如果我们换一个视角：
让 \(G\) 作用在左陪集空间 \(G/H\) 上：

  • 作用定义为：\(g \cdot (xH) = (gx)H\)。
  • 这个作用是传递的（Transitive），即任何两个陪集都可以通过某个 \(g\) 相互转换。
  • \(xH = H\)（即单位元陪集）的稳定子群（Stabilizer）恰好就是 \(H\) 本身。

这是理解轨道-稳定子定理 (Orbit-Stabilizer Theorem) 的最直接模型。

商的泛性质

商映射定义：\(H \le G\)，商映射定义为：

\[\pi: G \to G/H, \quad g \mapsto gH \]

设 \(H\) 是 \(G\) 的子群，\(f: G \to X\) 是任意映射，满足：

\[\forall g \in G, \forall h \in H: f(gh) = f(g) \]

则存在唯一的 \(\bar{f}: G/H \to X\) 使得 \(f = \bar{f} \circ \pi\)。

交换图表：

\[\begin{CD} G @>\pi>> G/H\\ @VfVV @VV\exists!\bar{f}V\\ X @= X \end{CD} \]

感性理解：\(\pi\) 是“最粗”的使 \(H\) 中元素不可区分的商结构。 \(\Delta\)

证明：

  • 定义 \(\bar{f}(gH) = f(g)\)。
  • 良定义性：\(gH = g'H \implies g' = gh \text{ (对某个 } h \in H) \implies f(g') = f(gh) = f(g)\)。
  • 唯一性：若 \(\bar{f}'\) 也满足 \(f = \bar{f}' \circ \pi\)，则对 \(\forall gH \in G/H\)：

    \[\bar{f}'(gH) = \bar{f}'(\pi(g)) = f(g) = \bar{f}(\pi(g)) = \bar{f}(gH) \]

    因此 \(\bar{f}' = \bar{f}\)。 \(\square\)

深入探讨：陪集的计数与组合

双陪集

\(H, K \le G\)，\(g \in G\)， \(g\) 关于 \((H, K)\) 的双陪集定义为：

\[HgK = \{ hgk : h \in H, k \in K \} \]

双陪集分解

\(G\) 可以分解成不交并：

\[G = \bigsqcup_{i \in I} Hg_i K \]

证明： 从等价关系入手，考虑定义 \(x \sim y \iff x \in HyK\)。

  1. 对称性：\(a \in HbK \implies a = hbk \implies b = h^{-1}ak^{-1} \implies b \in HaK\)。
  2. 自反性：\(a = eae \in HaK\)。
  3. 传递性：\(a \in HbK, b \in HcK \implies a \in H(HcK)K = HcK\)。
    故等价类即是 \(HgK\)。 \(\square\)

定理：双陪集的大小

设 \(H, K\) 是有限群 \(G\) 的子群，\(g \in G\)，则：

\[|HgK| = \frac{|H| \cdot |K|}{|H \cap gKg^{-1}|} \]

证明：考虑映射 \(\phi: H \times K \to HgK, \quad (h, k) \mapsto hgk\)。

  • \(hgk = h'gk' \implies h'^{-1}h = gk'k^{-1}g^{-1} \in H \cap gKg^{-1}\)。
  • 则令 \(L = H \cap gKg^{-1}\)。对于固定的 \(hgk\)，满足 \(h'gk' = hgk\) 的 \((h', k')\) 对数为 \(|L|\)。
  • 故 \(|HgK| = |H \times K| / |L| = |H| \cdot |K| / |H \cap gKg^{-1}|\)。 \(\square\)

陪集应用：

8.1 计算 \(S_n\) 中特定元素的个数

\(G = S_n, H = S_{n-1}\)。则 \([G:H] = n\)。
陪集代表系可选取为 \(\{e, (1, n), (2, n), (3, n), \dots, (n-1, n) \}\)。

8.2 正多面体旋转群

正四面体旋转群 \(T\)：\(|T| = 12\)。
设 \(H\) 是固定一个顶点的子群，\(|H| = 3\)。
这说明 \([T:H] = 4\)，即四个顶点。这说明 \(T\) 在顶点集上的作用是传递的。
每个顶点的稳定子同构于 \(\mathbb{Z}_3\)。

经典问题解析：

1. \(G\) 是有限群，\(H < G\)，且 \(G \neq \bigcup_{g \in G} gHg^{-1}\)。证明：\(H\) 的共轭类数 \(\le [G:H]\)。

证明：考察共轭类相等条件：

\[gHg^{-1} = g'Hg'^{-1} \iff g'^{-1}g \in N_G(H) \quad (\text{即 } H \text{ 的正规化子}) \]

因此，不同共轭子群个数为 \([G : N_G(H)]\)。
由于 \(H \le N_G(H)\)，有 \([G:H] = [G : N_G(H)][N_G(H) : H]\)。
故 \([G : N_G(H)] \le [G:H]\)。 \(\square\)

细节补充：证明 \(H\) 的不同共轭子群与 \(N\) 的左陪集一一对应。
\(\phi: G/N \to \{ gHg^{-1} : g \in G \}, \quad (N = N_G(H)), \quad \phi(gN) = gHg^{-1}\)。

  • 良定义：\(gN = g'N \implies g'^{-1}g \in N \implies gHg^{-1} = gg^{-1}g'Hg'^{-1}gg^{-1} = g'Hg'^{-1}\)。 (良定义 \(\checkmark\))
  • 单射：\(gHg^{-1} = g'Hg'^{-1} \implies g'^{-1}g \in N \implies gN = g'N\)。 (单射 \(\square\))

补充内容

为了使你的笔记更加完整，我在这里补充“经典问题 1”的最后一步计数逻辑。

A. 完善“有限群不等于其子群共轭并”的证明

你已经证明了 \(H\) 的不同共轭子群个数 \(k = [G : N_G(H)]\)。现在我们通过计数原理完成最后的证明：

  • 每个共轭子群 \(gHg^{-1}\) 的大小都等于 \(|H|\)。
  • 所有的共轭子群都至少包含一个共同元素：单位元 \(e\)。
  • 那么并集 \(\bigcup_{g \in G} gHg^{-1}\) 中的元素个数上限为：

    \[|\bigcup_{g \in G} gHg^{-1}| \le 1 + k(|H| - 1) \]

  • 代入 \(k = [G : N_G(H)]\)，且已知 \(N_G(H) \ge H\)（所以 \(k \le [G:H]\)）：

    \[|\bigcup gHg^{-1}| \le 1 + \frac{|G|}{|N_G(H)|}(|H| - 1) \le 1 + \frac{|G|}{|H|}(|H| - 1) \]

    \[= 1 + |G| - \frac{|G|}{|H|} \]

  • 因为 \(H < G\)（真子群），所以 \(\frac{|G|}{|H|} > 1\)，从而：

    \[1 + |G| - \frac{|G|}{|H|} < |G| \]

  • 结论：并集的元素个数严格小于 \(|G|\)，故 \(G \neq \bigcup gHg^{-1}\)。

3. 共轭类大小的整除性

题：设 \(G\) 是 \(n\) 阶有限群，\(H\) 是 \(G\) 的 \(m\) 阶子群。且 \(g\) 与 \(H\) 中任意元素交换。
试证：\(\forall g \in G\)，\(g\) 在 \(G\) 中的共轭类大小整除 \(n/m\)。

证明：考虑 \(cg = gc \iff cgc^{-1} = g\)，\(c \in C_G(g)\)（中心化子）。
\(g\) 的共轭类大小 \(= [G : C_G(g)] = n/|C_G(g)|\)。
考虑 \(H\) 中 \(g\) 的稳定子：\(C_H(g) = H \cap C_G(g)\)。
由于：

  1. \([G : C_H(g)] = [G : C_G(g)][C_G(g) : C_H(g)]\)
  2. \([G : C_H(g)] = [G : H][H : C_H(g)] = \frac{n}{m} [H : C_H(g)]\)

则 \([G : C_G(g)] = \frac{n}{m} \frac{[H : C_H(g)]}{[C_G(g) : C_H(g)]}\)。
由于题目给出 \(g\) 与 \(H\) 元素交换，故 \(H \le C_G(g)\)。
由指标乘法性：\([C_G(g) : C_H(g)] = [C_G(g) : H][H : C_H(g)]\)。
代入得：\([G : C_G(g)] \cdot [C_G(g) : H] = n/m\)。
故 \([G : C_G(g)] \mid \frac{n}{m}\)。 \(\square\)

指数整除性的应用：

由 \([G : K] = [G : H][H : K]\)：

  1. 若 \([G : H]\) 和 \([G : K]\) 互素，则 \([G : H \cap K] = [G : H][G : K]\)。
  2. 若 \(H, K\) 均为有限指数子群，则 \(H \cap K\) 也是有限指数子群。
  3. Poincaré 定理：\([G : H \cap K] \le [G : H][G : K]\)，当且仅当 \(HK = G\) 时等号成立。

证明 3：考虑映射 \(\psi: G/(H \cap K) \to G/H \times G/K\)。
\(\psi(g(H \cap K)) = (gH, gK)\)。

  • 良定义：若 \(g(H \cap K) = g'(H \cap K)\)，则 \(g^{-1}g' \in H \cap K \subseteq H, K\)。则 \(gH = g'H\) 且 \(gK = g'K\)。
  • 单射：若 \(gH = g'H\) 且 \(gK = g'K\)，则 \(g^{-1}g' \in H, K \implies g^{-1}g' \in H \cap K\)。
    因此 \(|G/H \cap K| \le |G/H \times G/K|\)，即 \([G : H \cap K] \le [G : H][G : K]\)。

等号成立当且仅当 \(\psi\) 满射：即任意 \(a, b \in G\)，\(\exists g \in G\) 使得 \(gH = aH, gK = bK\)。
\(\implies g = ah_1, g = bk_1 \implies ah_1 = bk_1\)。
则令 \(a = e\) 得 \(b = h_1 k_1^{-1}\) 即 \(G \subseteq HK \implies G = HK\)。
反之，若 \(HK = G\)，则对于任意 \((aH, bK)\)，都可找到 \(g\) 使得 \(a^{-1}g \in H\) 且 \(b^{-1}g \in K\)。
\(a^{-1}g = h, b^{-1}g = k \implies h k^{-1} = a^{-1}g g^{-1}b = a^{-1}b\)。
由于 \(a^{-1}b \in G\)，由 \(G = HK\) 可求出 \(h, k \implies \exists g\)。 \(\square\)

证明 1：若 \([G : H] \perp [G : K]\)，由 \([G : H] \mid [G : H \cap K]\) 且 \([G : K] \mid [G : H \cap K]\)。
故 \([G : H][G : K] \mid [G : H \cap K]\)。
结合 Poincaré 引理知 \([G : H \cap K] = [G : H][G : K]\)。
因此也满足 \(G = HK\)。

补充内容

你的证明逻辑非常清晰。为了深化你对这些结论的理解，我补充以下三点：

A. Poincaré 定理的推广

Poincaré 定理可以推广到有限个子群的情况：
若 \(H_1, H_2, \dots, H_n\) 都是 \(G\) 的有限指数子群，则它们的交 \(\bigcap_{i=1}^n H_i\) 也是有限指数子群，且：

\[[G : \bigcap_{i=1}^n H_i] \le \prod_{i=1}^n [G : H_i] \]

这在证明“有限群中有限指数子群的交仍然很大”时非常有用。

B. \(G=HK\) 的几何与计数意义

在你的证明中，等号成立条件 \(G=HK\) 是核心。对于有限群，我们有一个非常著名的公式：

\[|HK| = \frac{|H| \cdot |K|}{|H \cap K|} \]

将此公式两边除以 \(|G|\)，你会发现：

\[\frac{|HK|}{|G|} = \frac{|H|/|G| \cdot |K|/|G|}{|H \cap K|/|G|} \implies \frac{|HK|}{|G|} = \frac{[G : H \cap K]}{[G : H][G : K]} \]

当 \(G=HK\) 时，左边为 1，这再次从计数的角度验证了你的 Poincaré 等号成立条件。

C. 关于问题 3 的直观物理图景

你证明了共轭类大小整除 \(n/m\)。这里可以给出一个直观的解释：

  • \(g\) 的共轭类 \(Cl(g)\) 是 \(G\) 在自身上的轨道。
  • 由于 \(g\) 与 \(H\) 交换，\(H\) 实际上落在 \(g\) 的稳定子 \(C_G(g)\) 内部。
  • 整个 \(G\) 被分解为 \(C_G(g)\) 的陪集，而 \(C_G(g)\) 内部又可以进一步被 \(H\) 分解。
  • 这种“嵌套分解”结构直接导致了指标的多次整除性。

D. 补充一个重要推论

在应用 1 中，你证明了若指数互素则 \([G: H \cap K] = [G:H][G:K]\)。
这暗示了一个有趣的性质：两个互素指数的子群“尽可能地张开了整个群”。即便它们不是正规子群，它们的积 \(HK\) 也布满了整个 \(G\)。

posted @ 2026-01-19 16:59  Tnuzy_plzro  阅读(0)  评论(0)    收藏  举报