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Day 3：链式法则，高阶导数与微分算子
1. 从代数视角重审可微性
1.1 简要回顾 Fréchet 导数
设 \(U \subset \mathbb{R}^n\) 为开集，\(f: U \to \mathbb{R}^m\)，\(a \in U\)。
称 \(f\) 在 \(a\) 处 Fréchet 可微，若存在有界线性映射 \(L \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)\)，使得：
\[\lim_{h \to 0} \frac{\|f(a+h) - f(a) - L(h)\|}{\|h\|} = 0
\]
此时 \(L\) 唯一，记为 \(Df(a)\) 或 \(f'(a)\)。在标准基下，\(L\) 的矩阵为 \(m \times n\) Jacobian 矩阵：
\[J_f(a) = \begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}
\end{pmatrix}_{x=a}
\]
注：Fréchet 导数是从切空间 \(T_a\mathbb{R}^n \cong \mathbb{R}^n\) 到 \(T_{f(a)}\mathbb{R}^m \cong \mathbb{R}^m\) 的线性映射。
1.2 可微性的层级结构（正则性层级：\(C^k\) 类映射）
设 \(U \subset \mathbb{R}^n\) 为开集，\(f: U \to \mathbb{R}^m\)，\(k \in \mathbb{N} \cup \{0, +\infty\}\)。
- \(f \in C^0(U, \mathbb{R}^m)\)：\(f\) 在 \(U\) 上连续；
- \(f \in C^1(U, \mathbb{R}^m)\)：\(f\) 的所有一阶偏导在 \(U\) 上存在且连续；
- \(f \in C^k(U, \mathbb{R}^m)\)：\(f\) 的所有 \(k\) 阶偏导在 \(U\) 上存在且连续；
- \(f \in C^\infty(U, \mathbb{R}^m)\)：\(f \in\) 任意阶 \(C^k\)，即光滑映射。
命题：\(f \in C^1(U, \mathbb{R}^m) \Rightarrow f\) 在 \(U\) 上处处 Fréchet 可微（反之不然）。
2. 链式法则：核心定理
2.1 多元链式法则
陈述：设 \(U \subset \mathbb{R}^n\) 开，\(V \subset \mathbb{R}^m\) 开，\(g: U \to V\)，\(f: V \to \mathbb{R}^p\)。
若：
- \(g\) 在 \(a \in U\) 处 Fréchet 可微；
- \(f\) 在 \(b = g(a) \in V\) 处 Fréchet 可微；
则复合映射 \(f \circ g: U \to \mathbb{R}^p\) 在 \(a\) 处 Fréchet 可微，且：
\[D(f \circ g)(a) = Df(g(a)) \circ Dg(a)
\]
同理，Jacobian 矩阵形式为：
\[J(f \circ g)(a) = Jf(g(a)) \cdot Jg(a)
\]
2.2 链式法则的严密证明
设 \(A = Dg(a) \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)\)，\(B = Df(b) \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^p)\)，其中 \(b = g(a)\)。
需证：
\[(f \circ g)(a+h) - (f \circ g)(a) - BAh = o(\|h\|) \quad \text{(Fréchet 定义)}
\]
由 \(g\) 在 \(a\) 可微：
\[g(a+h) = g(a) + Ah + \alpha(h), \quad \left(\frac{\|\alpha(h)\|}{\|h\|} \to 0 \ (h \to 0)\right)
\]
同理：
\[f(b+k) = f(b) + Bk + \beta(k), \quad \left(\frac{\|\beta(k)\|}{\|k\|} \to 0 \ (k \to 0)\right)
\]
则：
\[\begin{aligned}
(f \circ g)(a+h) - (f \circ g)(a) &= f(g(a+h)) - f(g(a)) = f(g(a) + Ah + \alpha(h)) - f(g(a)) \\
&= B(Ah + \alpha(h)) + \beta(Ah + \alpha(h)) \\
&= BAh + B\alpha(h) + \beta(\underbrace{Ah + \alpha(h)}_{=k})
\end{aligned}
\]
只需证 \(R(h) = B\alpha(h) + \beta(k)\) 满足 \(R(h) = o(\|h\|)\)。
而：
\[\frac{\|B\alpha(h)\|}{\|h\|} \leq \|B\| \frac{\|\alpha(h)\|}{\|h\|} \to 0
\]
（\(\|B\| = \sup_{\|v\|=1} \|Bv\|\) 是 \(B\) 的算子范数，由 \(B\) 是线性映射，其算子范数一定存在）。
且 \(\beta(k) = \beta(Ah + \alpha(h))\)：构造 \(\varphi(k) = \begin{cases} \frac{\|\beta(k)\|}{\|k\|}, & k \neq 0 \\ 0, & k = 0 \end{cases}\) 在 \(0\) 处连续。
估计 \(\|k\| = \|Ah + \alpha(h)\| \leq \|A\|\|h\| + \|\alpha(h)\|\)。
由 \(\frac{\|\alpha(h)\|}{\|h\|} \to 0 \ (h \to 0)\)，\(h\) 足够小时有 \(\|\alpha(h)\| \leq \|h\|\)。
故 \(\|k\| \leq (\|A\| + 1)\|h\|\)。
\[\frac{\|\beta(k)\|}{\|h\|} = \varphi(k) \frac{\|k\|}{\|h\|} \leq \varphi(k)(\|A\| + 1)
\]
当 \(h \to 0, k \to 0\)，\(\varphi(k) \to 0\)，故 \(\frac{\|\beta(k)\|}{\|h\|} \to 0\)。因此 \(R(h)/\|h\| \to 0\)。\(\square\)
2.3 链式法则的分量形式
设 \(g = (g_1, \ldots, g_p): U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p\)，\(f = (f_1, \ldots, f_m): V \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^m\)。
且 \(x = (x_1, \ldots, x_n)\)，\(u = (u_1, \ldots, u_p)\)。则：
\[\frac{\partial (f_i \circ g)}{\partial x_j} = \sum_{k=1}^p \frac{\partial f_i}{\partial u_k}\bigg|_{u=g(x)} \cdot \frac{\partial g_k}{\partial x_j}\bigg|_{x=a}, \quad i=1,\ldots,m, \ j=1,\ldots,n
\]
（这正是矩阵乘法 \((Jf \cdot Jg)_{ij} = \sum_k (Jf)_{ik}(Jg)_{kj}\) 的逐元素翻译）。
例：\(f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) 可微，\(\gamma: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3\)，\(\gamma(t) = (x(t), y(t), z(t))\)。
则 \(h = f \circ \gamma\) 满足：
\[h'(t) = Jf(\gamma(t)) J\gamma(t) = (f_x \ f_y \ f_z) \begin{pmatrix} x_t \\ y_t \\ z_t \end{pmatrix} = f_x x_t + f_y y_t + f_z z_t
\]
此为“方向导数 = 梯度 · 速度”的数学解释：\(h'(t) = \nabla f \cdot \gamma'(t)\)。
例：\(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) 可微，\(x = r\cos\theta\)，\(y = r\sin\theta\)，求 \(\frac{\partial f}{\partial r}\) 和 \(\frac{\partial f}{\partial \theta}\)。
设 \(g(r,\theta) = (x,y)\)，则 \(Jg = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}\)。
则：
\[\left(\frac{\partial f}{\partial r}, \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right) \cdot Jg = \nabla f \cdot Jg
\]
\[\therefore \frac{\partial f}{\partial r} = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta, \quad \frac{\partial f}{\partial \theta} = -f_x r\sin\theta + f_y r\cos\theta
\]
2.4 链式法则的重要特例与推论
推论：若 \(f: U \to V\)，\(g: V \to U\) 互逆，即 \(g \circ f = \text{id}_U\)，且两者均可微，则：
\[Dg(f(a)) \circ Df(a) = D(\text{id}_U)(a) = \text{id}_{\mathbb{R}^n}
\]
即 \(Jg(f(a)) \cdot Jf(a) = I_n\)；或 \(Jg(f(a)) = [Jf(a)]^{-1}\)。
即为逆函数定理的微分层面体现。
推论（多重复合）：若 \(f_1, f_2, \ldots, f_k\) 各自可复合且可微，则：
\[D(f_k \circ \cdots \circ f_1)(a) = Df_k(\cdots) \circ \cdots \circ Df_2(f_1(a)) \circ Df_1(a)
\]
即 \(J_{f_k \circ \cdots \circ f_1}(a) = Jf_k \cdot Jf_{k-1} \cdots Jf_1\)。
此为反向传播算法的数学基础。
3. 高阶导数
3.1 二阶导数的代数身份：从线性映射到双线性映射
\(f: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)（取 \(m=1\) 以简明）。\(f\) 在 \(a\) 处的 Fréchet 导数 \(Df(a)\) 是一个线性映射 \(\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)，即 \((\mathbb{R}^n)^*\) 中的元素。
如果 \(f\) 足够光滑，则 \(a \mapsto Df(a)\) 本身构成一个映射：
\[Df: U \to (\mathbb{R}^n)^* \cong \mathbb{R}^n
\]
对这个映射再求 Fréchet 导数，得到 \(D^2f(a) = D(Df)(a) \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, (\mathbb{R}^n)^*) \cong \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) \cong \mathbb{R}^{n \times n}\)。
（二阶 Fréchet 导数 \(D^2f(a)\) 是一个双线性形式，具体地：对 \(h_1, h_2 \in \mathbb{R}^n\)，
\[D^2f(a)(h_1, h_2) = [D(Df)(a)(h_1)](h_2)
\]
这给出了 \(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 的双线性映射。它在标准基下的矩阵表示就是 Hessian 矩阵：
\[\text{Hess}_f(a) = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\right)_{n \times n}\bigg|_{x=a}
\]
精确定义（二阶 Fréchet 导数）：
设 \(f: U \to \mathbb{R}\) 在 \(U\) 上处处可微，\(Df: U \to \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R})\)，若映射 \(Df\) 在 \(a \in U\) 处 Fréchet 可微，即存在 \(L \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}))\)，使得：
\[\lim_{h_1 \to 0} \frac{\|Df(a+h_1) - Df(a) - L(h_1)\|_{\text{op}}}{\|h_1\|} = 0
\]
称 \(f\) 在 \(a\) 处二次可微，令 \(D^2f(a) = L\)。
3.2 高阶偏导数与 Clairaut-Schwarz 定理
对 \(f: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)，若偏导数 \(\frac{\partial f}{\partial x_i}\) 存在且本身关于 \(x_j\) 可偏导，则定义：
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(a) := \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)(a)
\]
Schwarz 对称性定理：
设 \(f: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)，\(a \in U\)。若 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\) 和 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}\) 都存在于 \(a\) 的某邻域 \(B(a,\delta)\) 内，且在 \(a\) 处连续，则：
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(a)
\]
动机：为何此定理重要：
- 保证了 Hessian 矩阵的对称性，从而可正交对角化——极值；
- 在微分形式语言中，\(d^2 = 0\) 正是混合偏导对称性的推论。
完整证明：不失一般性，取 \(n=2\)，\(a=(a_1,a_2)\)。证明 \(f_{xy}(a) = f_{yx}(a)\)。
构造 \(\Phi(s,t) = f(a_1+s, a_2+t) - f(a_1+s, a_2) - f(a_1, a_2+t) + f(a_1, a_2)\)。
我们从两个不同方向分析 \(\Phi(s,t)\)。
一、固定 \(t\)，对 \(s\) 用中值定理：
设 \(\varphi(s) = f(a_1+s, a_2+t) - f(a_1+s, a_2)\)。
\(\Phi(s,t) = \varphi(s) - \varphi(0)\)。
则 \(\exists \theta_1 \in (0,1)\)，使得：
\[\Phi(s,t) = s\varphi'(\theta_1 s) = s[f_x(a_1+\theta_1 s, a_2+t) - f_x(a_1+\theta_1 s, a_2)] = st f_{xy}(a_1+\theta_1 s, a_2+\theta_2 t)
\]
二、固定 \(s\)，对 \(t\) 用中值定理：
设 \(\psi(t) = f(a_1+s, a_2+t) - f(a_1, a_2+t)\)。
\(\Phi(s,t) = \psi(t) - \psi(0) = st f_{yx}(a_1+\theta_3 s, a_2+\theta_4 t)\)。
汇总：当 \((s,t) \neq (0,0)\) 时且 \(s \neq 0, t \neq 0\)：
\[f_{xy}(a_1+\theta_1 s, a_2+\theta_2 t) = f_{yx}(a_1+\theta_3 s, a_2+\theta_4 t)
\]
令 \((s,t) \to (0,0)\)，由 \(f_{xy}\) 在 \(a\) 处连续，左端趋于 \(f_{xy}(a)\)。
由 \(f_{yx}\) 在 \(a\) 处连续，右端趋于 \(f_{yx}(a)\)。故：
\[f_{xy}(a) = f_{yx}(a) \quad (\text{令 } s,t \to 0 \text{ 即得})
\]
注：\(f_{xy}\) 和 \(f_{yx}\) 的连续性假设不可省略。经典反例：
\[f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}
\]
可验证 \(f_{xy}(0,0) = 1\) 而 \(f_{yx}(0,0) = -1\)，问题出在 \(f_{xy}, f_{yx}\) 在原点不连续。
3.3 \(k\) 阶 Fréchet 导数
定义：
\[D^k f(a) = D(D^{k-1}f)(a) \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathcal{L}^{k-1}(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^m)) \cong \mathcal{L}^k(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^m)
\]
\(D^k f(a)\) 是一个 \(k\)-重多重线性映射 \(\underbrace{\mathbb{R}^n \times \cdots \times \mathbb{R}^n}_{k} \to \mathbb{R}^m\)。
定理：高阶导数的对称性：若 \(f \in C^k(U; \mathbb{R}^m)\)（即 \(f\) 的所有直到 \(k\) 阶导数存在且连续），则 \(D^k f(a)\) 是一个对称的 \(k\)-多重线性映射，即：
\[D^k f(a)(h_{\sigma(1)}, \ldots, h_{\sigma(k)}) = D^k f(a)(h_1, \ldots, h_k) \quad (\forall \sigma \in S_k)
\]
注：\(D^k f(a)\) 本质上是一个 \(k\) 阶协变张量。Schwarz 定理告知它属于对称张量空间 \(S^k(\mathbb{R}^n)^*\)。在标准基下，它由 \(\binom{k+(n-1)}{k}\) 个 \(\frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \partial x_{i_2} \cdots \partial x_{i_k}}\)（\(1 \leq i_1 \leq i_2 \leq \cdots \leq i_k \leq n\)）分量唯一确定。
4. 链式法则的高阶推广
4.1 二阶链式法则
如何对 \(h = f \circ g\) 计算二阶导数？
定理：\(g: U \subset \mathbb{R}^n \to V \subset \mathbb{R}^p\) 二次可微，\(f: V \to \mathbb{R}\) 二次可微，\(h = f \circ g\)。对 \(v_1, v_2 \in \mathbb{R}^n\)：
\[D^2 h(a)(v_1, v_2) = D^2 f(g(a))(Dg(a)v_1, Dg(a)v_2) + Df(g(a))(D^2 g(a)(v_1, v_2))
\]
证明：由一阶链式法则：\(Dh(x) = Df(g(x)) \cdot Dg(x)\)。
固定 \(v_2 \in \mathbb{R}^n\)，定义 \(\Phi(x) := Dh(x)(v_2) = Df(g(x))(Dg(x)v_2)\)。
则：
\[\begin{aligned}
D\Phi(a)(v_1) &= D[Df(g(a))(Dg(a)v_2)]v_1 \\
&= D[Df(g(a))]v_1 \cdot (Dg(a)v_2) + Df(g(a)) \cdot D(Dg(a)v_2)v_1 \\
&= [D^2 f(g(a))(Dg(a)v_1)](Dg(a)v_2) + Df(g(a)) D^2 g(a)(v_1, v_2) \\
&= D^2 f(g(a))(Dg(a)v_1, Dg(a)v_2) + Df(g(a))(D^2 g(a)(v_1, v_2))
\end{aligned}
\]
（注：这里大量使用了双线性型的求导准则：\(DL(A,B)u = L(DAu, B) + L(A, DBu)\)）
4.2 分量形式：计算利器
由 4.1：
\[D^2 f(g(a))(v_1, v_2) = D^2 f(g(a))(Dg(a)v_1, Dg(a)v_2) + Df(g(a))(D^2 g(a)(v_1, v_2))
\]
设 \(u = g(x)\)，\(u_k = g_k(x_1, \ldots, x_n)\)，\(k=1,\ldots,p\)。
则：
\[\frac{\partial^2 h}{\partial x_i \partial x_j} = \sum_{k,l=1}^p \frac{\partial^2 f}{\partial u_k \partial u_l} \frac{\partial g_k}{\partial x_i} \frac{\partial g_l}{\partial x_j} + \sum_{k=1}^p \frac{\partial f}{\partial u_k} \frac{\partial^2 g_k}{\partial x_i \partial x_j}
\]
例（Laplacian）：\(f = f(x,y)\)，\(x = r\cos\theta\)，\(y = r\sin\theta\)。
求 \(\Delta f = f_{xx} + f_{yy}\) 用 \((r,\theta)\) 的表达。
解：这是一个“逆向”问题。\((r,\theta) \to (x,y)\) 变换，需要将 \((x,y)\) 坐标下的微分算子 \(\Delta\) 改写为 \((r,\theta)\) 坐标下的算子。
策略：利用链式法则将 \(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}\) 表示为 \(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial \theta}\) 的线性组合代入 \(\Delta\)。
一阶关系：
\[x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad r = \sqrt{x^2+y^2}, \quad \theta = \arctan\frac{y}{x}
\]
\[\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r} = \cos\theta, \quad \frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} = \sin\theta
\]
\[\frac{\partial \theta}{\partial x} = -\frac{y}{r^2} = -\frac{\sin\theta}{r}, \quad \frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{x}{r^2} = \frac{\cos\theta}{r}
\]
由链式法则：
\[\begin{cases}
\frac{\partial f}{\partial x} = f_r \cos\theta - f_\theta \frac{\sin\theta}{r} \\
\frac{\partial f}{\partial y} = f_r \sin\theta + f_\theta \frac{\cos\theta}{r}
\end{cases}
\quad \text{即} \quad
\begin{cases}
\frac{\partial}{\partial x} = \cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \\
\frac{\partial}{\partial y} = \sin\theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}
\end{cases}
\]
计算：
\[\frac{\partial^2}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right) = \left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}\right)\left(f_r \cos\theta - f_\theta \frac{\sin\theta}{r}\right)
\]
\[= \cos^2\theta f_{rr} - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r} f_{r\theta} + \frac{\sin^2\theta}{r} f_r + \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2} f_\theta + \frac{\sin^2\theta}{r^2} f_{\theta\theta}
\]
同理：
\[\frac{\partial^2}{\partial y^2} = \sin^2\theta f_{rr} + \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r} f_{r\theta} + \frac{\cos^2\theta}{r} f_r - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2} f_\theta + \frac{\cos^2\theta}{r^2} f_{\theta\theta}
\]
\[\therefore \Delta f = f_{xx} + f_{yy} = \boxed{f_{rr} + \frac{1}{r}f_r + \frac{1}{r^2}f_{\theta\theta}}
\]
（Laplacian 旋转不变性的直接体现）。
5. 高阶导数的算子形式
5.1 微分算子代数
链式法则在于它将偏导数计算转化为微分算子的代数运算。
对光滑函数 \(f\)，定义一阶偏微分算子 \(\partial_i = \frac{\partial}{\partial x_i}\)，满足：
- 线性性：\(\partial_i(\alpha f + \beta g) = \alpha \partial_i f + \beta \partial_i g\)；
- Leibniz 法则：\(\partial_i(fg) = (\partial_i f)g + f(\partial_i g)\)；
- 交换性（Schwarz）：\(\partial_i \circ \partial_j = \partial_j \circ \partial_i\)（在 \(C^2\) 类上）。
例（二阶全微分的算子形式）：
对 \(f \in C^2\)，二阶微分为：
\[d^2f = \sum_{i,j} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} dx_i dx_j = \left(\sum_{i=1}^n dx_i \partial_i\right)^2 f \quad \text{(在 Schwarz 下)}
\]
即 \(d^2 = (d)^2\)，\(d = \sum_i dx_i \partial_i\) 为形式算子，展开平方 \(d^2 = \sum_i \sum_j dx_i dx_j \partial_i \partial_j\)。
5.2 变量替换下的算子变换法则
定理（算子变换）：设 \(u = u(x,y)\)，\(v = v(x,y)\) 是 \(C^2\) 坐标变换（局部微分同胚）。则：
\[\begin{cases}
\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial}{\partial u} + \frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial}{\partial v} \\
\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial}{\partial u} + \frac{\partial v}{\partial y} \frac{\partial}{\partial v}
\end{cases}
\]
对于二阶：
\[\frac{\partial^2}{\partial x^2} = \left(\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial}{\partial u} + \frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial}{\partial v}\right)^2 + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \frac{\partial}{\partial u} + \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} \frac{\partial}{\partial v}
\]
证明：
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial x}(u_x f_u + v_x f_v) = u_{xx}f_u + u_x \frac{\partial f_u}{\partial x} + v_{xx}f_v + v_x \frac{\partial f_v}{\partial x}
\]
\[= u_{xx}f_u + v_{xx}f_v + u_x^2 f_{uu} + 2u_x v_x f_{uv} + v_x^2 f_{vv}
\]
正确公式（去 \(f\)）。
更一般地，若 \(\frac{\partial}{\partial x} = \alpha \frac{\partial}{\partial u} + \beta \frac{\partial}{\partial v}\)，其中 \(\alpha, \beta\) 是 \((x,y)\) 的函数。
\[\frac{\partial^2}{\partial x^2} = \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^2 + \frac{\partial \alpha}{\partial x} \frac{\partial}{\partial u} + \frac{\partial \beta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial v}
\]
5.3 Taylor 公式与高阶微分
多元 Taylor 展开：设 \(f \in C^{k+1}(B(a,r); \mathbb{R})\)。则对 \(h \in \mathbb{R}^n, \|h\| < r\)：
\[f(a+h) = \sum_{|\alpha| \leq k} \frac{D^\alpha f(a)}{\alpha!} h^\alpha + R_k(h)
\]
其中使用了多重指标记号：\(\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \in \mathbb{N}_0^n\)，\(|\alpha| = \alpha_1 + \cdots + \alpha_n\)，\(\alpha! = \alpha_1! \cdots \alpha_n!\)，\(h^\alpha = h_1^{\alpha_1} \cdots h_n^{\alpha_n}\)，\(D^\alpha = \partial_1^{\alpha_1} \cdots \partial_n^{\alpha_n}\)。
其中，\(R_k(h) = \sum_{|\alpha|=k+1} \frac{(k+1)}{\alpha!} h^\alpha \int_0^1 (1-t)^k D^\alpha f(a+th) dt\)。
注记：特别地，展开到二阶（\(k=2\)），对 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)：
\[f(a+h) = f(a) + \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)h_i + \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a)h_i h_j + o(\|h\|)^2
\]
\[= f(a) + Df(a)(h) + \frac{1}{2} D^2f(a)(h,h) + o(\|h\|)^2
\]
6. Faà di Bruno 公式：高阶链式法则的完整形态
6.1 一元情形回顾
在一元微积分中，对 \(h(t) = f(g(t))\)，\(k\) 阶导数为：
\[h^{(k)}(t) = \sum \frac{k!}{m_1! m_2! \cdots m_k!} f^{(m_1+\cdots+m_k)}(g(t)) \prod_{j=1}^k \left(\frac{g^{(j)}(t)}{j!}\right)^{m_j}
\]
其中求和满足 \(\sum_{i=1}^k i \cdot m_i = k\) 且 \(m_j \geq 0\) 的所有 \((m_1, \ldots, m_k)\)。
6.2 多元情形的结构
对于多元函数 \(h = f \circ g\)，\(g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p\)，\(f: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}\)，对于三阶或更高级导数，不试图记公式，正确方式：
- 写出一阶链式法则；
- 逐次对结果求导，使用乘积法则 + 一阶链式法则（多线性映射微分法则）；
- 利用 Schwarz 合并同类项。
一阶链式法则：
\[Dh(x)(u) = Df(y)(Dg(x)(u))
\]
二阶：
\[\begin{aligned}
D^2h(x)(v,u) &= D\left(Df(g(x))(Dg(x)(u))\right)(v) \\
&= D^2f(g(x))(Dg(x)v)(Dg(x)(u)) + Df(g(x))D(Dg(x)(u))(v) \\
&= D^2f(g(x))(Dg(x)v, Dg(x)u) + Df(g(x))D^2g(x)(v,u)
\end{aligned}
\]
三阶：求 \(D^3h(x)(w,v,u)\)：
\[\begin{aligned}
D^3h(x)(w,v,u) &= D\left(D^2f(g(x))(Dg(x)v, Dg(x)u)\right)w \\
&\quad + D\left(Df(g(x))D^2g(x)(v,u)\right)w \\
&= D^3f(g(x))(Dg(x)w, Dg(x)v, Dg(x)u) \\
&\quad + D^2f(g(x))(D^2g(x)(w,v), Dg(x)u) \\
&\quad + D^2f(g(x))(Dg(x)v, D^2g(x)(w,u)) \\
&\quad + D^2f(g(x))(Dg(x)v + D^2g(x)(w,u)) \\
&\quad + Df(y)(D^3g(x)(w,v,u))
\end{aligned}
\]
7. 链式法则在偏微分方程中的应用
7.1 特征线法初窥
一维波动方程：
\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0
\]
引入特征量 \(\xi = x+ct\)，\(\eta = x-ct\)，试求 \(u(\xi, \eta)\) 满足的 PDE。
算子变换：
\[\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \eta} = \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta}
\]
\[\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial \xi}{\partial t} \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial t} \frac{\partial}{\partial \eta} = c\frac{\partial}{\partial \xi} - c\frac{\partial}{\partial \eta}
\]
二阶算子：
\[\frac{\partial^2}{\partial x^2} = \left(\frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta}\right)^2 = \frac{\partial^2}{\partial \xi^2} + 2\frac{\partial^2}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2}{\partial \eta^2}
\]
\[\frac{\partial^2}{\partial t^2} = c^2\left(\frac{\partial}{\partial \xi} - \frac{\partial}{\partial \eta}\right)^2 = c^2\left(\frac{\partial^2}{\partial \xi^2} - 2\frac{\partial^2}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2}{\partial \eta^2}\right)
\]
代入：
\[c^2(u_{\xi\xi} - 2u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta}) - c^2(u_{\xi\xi} + 2u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta}) = 0
\]
\[-4c^2 u_{\xi\eta} = 0
\]
\(\therefore u_{\xi\eta} = 0\)。综上 \(u = F(\xi) + G(\eta) = F(x+ct) + G(x-ct)\)。即 d'Alembert 解。\(\square\)
（本质洞察：分解微分算子 \(\frac{\partial^2}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} = \left(\frac{\partial}{\partial t} - c\frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t} + c\frac{\partial}{\partial x}\right) = (-c)^2 \left(\frac{\partial}{\partial \xi} - \frac{\partial}{\partial \eta}\right)\left(\frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta}\right)\)）
8. 一阶链式法则的系统化策略
8.1 Jacobian 乘法
对于 \(h = f \circ g\)：
- 写出 \(Jg\)；
- 写出 \(Jf\)（在 \(g(a)\) 求值）；
- \(Jh = Jf \cdot Jg\)；
- 读出各偏导数。
例 8.1：
设 \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\)，\(f(u,v) = (u^2-v^2, 2uv)\)。\(g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\)，\(g(x,y) = (e^x \cos y, e^x \sin y)\)。
求 \(h = f \circ g\) 的 Jacobian。
解：
\[Jf = \begin{pmatrix} 2u & -2v \\ 2v & 2u \end{pmatrix}, \quad Jg = \begin{pmatrix} e^x\cos y & -e^x\sin y \\ e^x\sin y & e^x\cos y \end{pmatrix}
\]
\[Jh = Jf|_{(u,v)=g(x,y)} \cdot Jg \quad (u=e^x\cos y, v=e^x\sin y)
\]
\[= 2\begin{pmatrix} u & -v \\ v & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u & -v \\ v & u \end{pmatrix} = 2(u^2+v^2) \begin{pmatrix} \frac{u^2-v^2}{u^2+v^2} & \frac{-2uv}{u^2+v^2} \\ \frac{2uv}{u^2+v^2} & \frac{u^2-v^2}{u^2+v^2} \end{pmatrix}
\]
更优雅地：
\[u^2+v^2 = e^{2x}, \quad u^2-v^2 = e^{2x}\cos 2y, \quad 2uv = e^{2x}\sin 2y
\]
\[Jh = 2e^{2x} \begin{pmatrix} \cos 2y & -\sin 2y \\ \sin 2y & \cos 2y \end{pmatrix}
\]
8.2 树形图法（Tree Diagram）
- 画出变量依赖图；
- 每条路径对应一个乘积项；
- 所有路径乘积项求和，即得偏导数。
例 8.2：
\(z = f(u,v)\)，\(u = \varphi(x,y)\)，\(v = \psi(x,y)\)。求 \(\frac{\partial z}{\partial x}\)。
（图示：\(z\) 分两支到 \(u,v\)；\(u,v\) 各分两支到 \(x,y\)）
\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}
\]
例 8.2*（三层复合）：
\(w = f(x,y)\)，\(x = g(s,t)\)，\(y = h(s,t)\)，且 \(s = \varphi(r)\)，\(t = \psi(r)\)。求 \(\frac{dw}{dr}\)。
\[\frac{dw}{dr} = \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} \frac{\partial s}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s} \frac{\partial s}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial r}
\]
\[= f_x(g_s \varphi' + g_t \psi') + f_y(h_s \varphi' + h_t \psi')
\]
或用 Jacobian：
\[\frac{dw}{dr} = Jf \cdot J_{(g,h)} \cdot J_{(\varphi,\psi)} = (f_x \ f_y) \begin{pmatrix} g_s & g_t \\ h_s & h_t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varphi' \\ \psi' \end{pmatrix}
\]
8.3 全微分法（一阶）
- 对 \(z = f(u,v)\) 取全微分：\(dz = f_u du + f_v dv\)；
- 将 \(du, dv\) 用 \(dx, dy\) 表示；
- 代入，整理 \(dz\) 中 \(dx, dy\) 的系数。
例：\(z = \arctan\frac{y}{x}\)，\(x = u\cos v\)，\(y = u\sin v\)。求 \(\frac{\partial z}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial v}\)。
解：全微分：
\[dz = \frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2} d\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{x^2}{x^2+y^2} \frac{x dy - y dx}{x^2} = \frac{x dy - y dx}{x^2+y^2}
\]
由 \(x = u\cos v\)，\(y = u\sin v\)：
\[\begin{cases} dx = \cos v du - u\sin v dv \\ dy = \sin v du + u\cos v dv \end{cases}
\]
则：
\[x dy - y dx = x(\sin v du + u\cos v dv) - y(\cos v du - u\sin v dv) = u^2 dv
\]
\[\therefore dz = dv
\]
9. 高阶偏导数的计算技术
9.1 隐函数的高阶导数
例：\(F(x,y) = 0\) 确定隐函数 \(y = y(x)\)，\(F_y \neq 0\)，求 \(y''\)。
解：一阶：\(F_x + F_y y' = 0\)，故 \(y' = -\frac{F_x}{F_y}\)。
二阶：\(\frac{d}{dx}F_x + \frac{d}{dx}F_y \cdot y' + F_y y'' = 0\)。
由 \(\frac{d}{dx}F_x = F_{xx} + F_{xy}y'\)，\(\frac{d}{dx}F_y = F_{yx} + F_{yy}y'\)。
\[\therefore y'' = -\frac{F_{xx}F_y^2 - 2F_{xy}F_xF_y + F_{yy}F_x^2}{F_y^3}
\]
9.2 参变量函数的高阶导数
例：\(x = a(t+\sin t)\)，\(y = a(1-\cos t)\)。求 \(y_{xx}\)。
解：
\[y_x = \frac{y_t'}{x_t'} = \frac{a\sin t}{a(1+\cos t)} = \frac{\sin t}{1+\cos t} = \tan\frac{t}{2}
\]
\[y_{xx} = \frac{(y_x')_t'}{x_t'} = \frac{\frac{1}{2}\sec^2\frac{t}{2}}{a(1+\cos t)}
\]
由 \(1+\cos t = 2\cos^2\frac{t}{2}\)：
\[y_{xx} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2\frac{t}{2}}}{a \cdot 2\cos^2\frac{t}{2}} = \frac{1}{4a\cos^4(\frac{t}{2})} = -\frac{1}{a(1+\cos t)^2}
\]
9.3 算子法处理高阶导数
算子法总则：
在坐标变换 \((x,y) \to (u,v)\) 下，将 \(\partial_x, \partial_y\) 的任意多项式表达为 \(\partial_u, \partial_v\) 的多项式。
- 用链式法则将 \(\partial_x, \partial_y\) 写为 \(\partial_u, \partial_v\) 的线性组合；
- 将高阶微分算子视为低阶算子的复合，逐次展开，系数本身依赖于变量；
- 利用 Schwarz 定理合并同类项。
例：设 \(u = x+y\)，\(v = x-y\)。将 \(f_{xx} - f_{yy} = 0\) 转化为关于 \((u,v)\) 的解。
解：
\[\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial}{\partial u} + \frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial u} + \frac{\partial}{\partial v}
\]
同理：
\[\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial u} - \frac{\partial}{\partial v}
\]
\[\therefore \frac{\partial^2}{\partial x^2} = \left(\frac{\partial}{\partial u} + \frac{\partial}{\partial v}\right)^2, \quad \frac{\partial^2}{\partial y^2} = \left(\frac{\partial}{\partial u} - \frac{\partial}{\partial v}\right)^2
\]
即：
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 4 \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} = 0
\]
即 \(f_{uv} = 0\)。
10. 多重指标记号法则
定义（多重指标）：\(\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \in \mathbb{N}_0^n\)。
- \(|\alpha| = \alpha_1 + \cdots + \alpha_n\)（阶数）；
- \(\alpha! = \alpha_1! \cdots \alpha_n!\)；
- \(x^\alpha = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}\)；
- \(D^\alpha = \partial_1^{\alpha_1} \partial_2^{\alpha_2} \cdots \partial_n^{\alpha_n}\)（\(\partial_i = \frac{\partial}{\partial x_i}\)）；
- \(\binom{|\alpha|}{\alpha} = \frac{|\alpha|!}{\alpha!}\)（多项式系数/连项式）。
Leibniz 法则：
\[D^\alpha(fg) = \sum_{\beta \leq \alpha} \binom{\alpha}{\beta} D^\beta f \cdot D^{\alpha-\beta} g
\]
（其中 \(\beta \leq \alpha\) 意味着 \(\beta_i \leq \alpha_i\)（\(\forall i\)），\(\binom{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha!}{\beta!(\alpha-\beta)!}\)）。
用多重指标后，代数式变得极其简洁。
简要证明：\(D^\alpha = \prod_{i=1}^n \partial_i^{\alpha_i}\)。假设 \(\partial_i\) 可交换（\(\partial_i \partial_j = \partial_j \partial_i\)），这是一个交换代数。
\[D^\alpha(fg) = \prod_{i=1}^n (\partial_{i,f} + \partial_{i,g})^{\alpha_i} = \prod_{i=1}^n \left[\sum_{\beta_i=0}^{\alpha_i} \binom{\alpha_i}{\beta_i} \partial_{i,f}^{\beta_i} \partial_{i,g}^{\alpha_i-\beta_i}\right]
\]
定义 \(\beta \leq \alpha\)，即 \(\forall i, 0 \leq \beta_i \leq \alpha_i\)，则：
\[D^\alpha(fg) = \sum_{0 \leq \beta \leq \alpha} \left(\prod_{i=1}^n \binom{\alpha_i}{\beta_i}\right) \left(\prod_{i=1}^n \partial_{i,f}^{\beta_i}\right) \left(\prod_{i=1}^n \partial_{i,g}^{\alpha_i-\beta_i}\right) = \sum_{\beta \leq \alpha} \binom{\alpha}{\beta} D^\beta f \cdot D^{\alpha-\beta} g
\]
（多元 Leibniz）。\(\square\)
11. 典型题
例 11.1（吉米多维奇）：\(z = f(xy, x^2+y^2)\)，\(f \in C^2\)，求 \(z_{xx}\)。
解：设 \(u = xy\)，\(v = x^2+y^2\)。
\[z_x = f_u \cdot y + f_v \cdot 2x
\]
\[\begin{aligned}
z_{xx} &= \frac{\partial}{\partial x}(f_u \cdot y + f_v \cdot 2x) \\
&= y \cdot \frac{\partial f_u}{\partial x} + 2x \frac{\partial f_v}{\partial x} + 2f_v \\
&= y(f_{uu} \cdot y + f_{uv} \cdot 2x) + 2x(f_{vu} \cdot u_x + f_{vv} \cdot v_x) + 2f_v \\
&= y^2 f_{uu} + 4xy f_{uv} + 4x^2 f_{vv} + 2f_v \quad \text{(Schwarz)}
\end{aligned}
\]
例 11.2（\(f\) 的自变量中有自变量的函数）：
\(z = f(x+y, xy)\)，\(f \in C^2\)，验证：\(xz_x - yz_y = (x-y)f_u\)，（\(u=x+y, v=xy\)）。
解：
\[z_x = f_u \cdot 1 + f_v \cdot y = f_u + yf_v
\]
同理 \(z_y = f_u + xf_v\)。
则：
\[xz_x - yz_y = x(f_u + yf_v) - y(f_u + xf_v) = (x-y)f_u \quad \square
\]
例 11.3（构造恒等式）：
\(f(x,y)\) 是 \(n\) 次齐次函数，即 \(f(tx,ty) = t^n f(x,y)\)（\(\forall t>0\)）。
证明 Euler 齐次函数定理：
\[xf_x + yf_y = nf(x,y)
\]
解：\(\varphi(t) = f(tx,ty) = t^n f(x,y)\)。
\(\varphi'(t) = f_x(tx,ty) \cdot x + f_y(tx,ty) \cdot y = nt^{n-1}f(x,y)\)。
令 \(t=1\)：\(xf_x(x,y) + yf_y(x,y) = nf(x,y)\)。\(\square\)
例 11.4（多元隐函数）：
设 \(F(x,y,z) = 0\) 确定 \(z = z(x,y)\)。\(F_z \neq 0\)。求 \(z_{xx}\)。
解：对 \(F(x,y,z(x,y)) = 0\)：
\[F_x + F_z z_x = 0 \Rightarrow z_x = -\frac{F_x}{F_z}
\]
则：
\[z_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(F_x + F_z z_x) = F_{xx} + F_{zx}z_x + (F_{zx} + F_{zz}z_x)z_x + F_z z_{xx}
\]
\[= F_{xx} + 2F_{xz}z_x + F_{zz}z_x^2 + F_z z_{xx}
\]
由 \(z_x = -F_x/F_z\)：
\[z_{xx} = -\frac{F_{xx}F_z^2 - 2F_{xz}F_xF_z + F_{zz}F_x^2}{F_z^3}
\]
例 11.5（将一般二阶线性方程化为标准型）：
将方程 \(u_{xx} + 2u_{xy} - 3u_{yy} = 0\) 化为标准型。
解：考虑特征方程：
\[\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - 2\frac{dy}{dx} - 3 = 0
\]
即 \(\left(\frac{dy}{dx}-3\right)\left(\frac{dy}{dx}+1\right) = 0\)。解得 \(y = 3x+C_1\) 与 \(y = -x+C_2\)。
引入特征变量：\(\xi = y-3x\)，\(\eta = y+x\)。
计算算子变换：
\[\frac{\partial}{\partial x} = -3\frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta}, \quad \frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta}
\]
代入：
\[u_{xx} + 2u_{xy} - 3u_{yy} = -16u_{\xi\eta} = 0 \Rightarrow u_{\xi\eta} = 0
\]
故 \(u = F(\xi) + G(\eta) = F(y-3x) + G(y+x)\)。
例 11.6（利用复数变量）：引入 \(z = x+iy\)，\(\bar{z}\)，证明：
\[\Delta f = 4\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial \bar{z}} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\]
解：首先由 \(x = \frac{z+\bar{z}}{2}\)，\(y = \frac{z-\bar{z}}{2i}\)，得：
\[\begin{cases}
\frac{\partial}{\partial z} = \frac{\partial x}{\partial z}\frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial}{\partial y} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} - i\frac{\partial}{\partial y}\right) \\
\frac{\partial}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y}\right)
\end{cases}
\]
则 \(4\frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial}{\partial \bar{z}} = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} = \Delta\)。（展开即知）。\(\square\)
12. 综合难题
12.1 球坐标下的 Laplacian 的完整推导
\(x = r\sin\varphi\cos\theta\)，\(y = r\sin\varphi\sin\theta\)，\(z = r\cos\varphi\)。
其中 \(r \geq 0\)，\(0 \leq \varphi \leq \pi\)（极角），\(0 \leq \theta < 2\pi\)（方位角）。
求 \(\Delta f = f_{xx} + f_{yy} + f_{zz}\) 用 \((r,\varphi,\theta)\) 表达。
解法：暴力计算。算 \(\frac{\partial r}{\partial x}\)：\(\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}\)。
\[\begin{cases} r^2 = x^2+y^2+z^2 \\ \cos\varphi = \frac{z}{r} \\ \tan\theta = \frac{y}{x} \end{cases}
\]
\[\frac{\partial \varphi}{\partial x}: \quad z = r\cos\varphi \Rightarrow 0 = r_x\cos\varphi + r(-\sin\varphi)\varphi_x \Rightarrow \varphi_x = \frac{\cos\varphi\cos\theta}{r}
\]
\[\frac{\partial \theta}{\partial x}: \quad y = x\tan\theta \Rightarrow 0 = \tan\theta + x\sec^2\theta \cdot \theta_x \Rightarrow \theta_x = \frac{-\sin\theta}{r\sin\varphi}
\]
则：
\[\frac{\partial}{\partial x} = (\sin\varphi\cos\theta)\frac{\partial}{\partial r} + \left(\frac{\cos\varphi\cos\theta}{r}\right)\frac{\partial}{\partial \varphi} - \left(\frac{\sin\theta}{r\sin\varphi}\right)\frac{\partial}{\partial \theta}
\]
同理：
\[\frac{\partial}{\partial y} = (\sin\varphi\sin\theta)\frac{\partial}{\partial r} + \left(\frac{\cos\varphi\sin\theta}{r}\right)\frac{\partial}{\partial \varphi} + \left(\frac{\cos\theta}{r\sin\varphi}\right)\frac{\partial}{\partial \theta}
\]
\[\frac{\partial}{\partial z} = (\cos\varphi)\frac{\partial}{\partial r} - \left(\frac{\sin\varphi}{r}\right)\frac{\partial}{\partial \varphi}
\]
暴力计算二阶：
Laplacian 是标量算子点积：\(\partial_x^2 + \partial_y^2 + \partial_z^2\)。
考虑到 \(L = A\partial_r + B\partial_\varphi + C\partial_\theta\)，类比二阶 \(L^2\)，三阶 \(L^2\) 有：
- 二阶项/交叉项（正交，0）：算子作用于本身；
- 一阶项（关于系数 \(A,B,C\)）。
二阶项（暴算）：
\(\partial_{rr}\) 系数：\((\sin\varphi\cos\theta)^2 + (\sin\varphi\sin\theta)^2 + \cos^2\varphi = 1\)。
\(\partial_{\varphi\varphi}\) 系数：\(\frac{1}{r^2}\)。
\(\partial_{\theta\theta}\) 系数：\(\frac{1}{r^2\sin^2\varphi}\)。
一阶修正项：
\(\partial_r\)：\(\partial_x(\sin\varphi\cos\theta) + \partial_y(\sin\varphi\sin\theta) + \partial_z(\cos\varphi) = \ldots\)（逐项展开）\(= \frac{2}{r}\)。
同理：\(\partial_\varphi\)：\(\frac{\cot\varphi}{r^2}\)，\(\partial_\theta\)：\(0\)。
故：
\[\Delta f = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} + \cot\varphi \frac{\partial}{\partial \varphi}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\varphi}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}
\]
（计算量极大）。
12.2 高阶链式法则在特殊函数中的应用
设 \(f \in C^4(\mathbb{R})\)，\(u = f(x^2y)\)。计算 \(\frac{\partial^3 u}{\partial x^2 \partial y}\)。
\[u_y = f'(t) x^2
\]
\[\begin{aligned}
u_{yx} &= \frac{\partial}{\partial x}(f'(t)x^2) = f''(t)t_x x^2 + f'(t) \cdot 2x = f''(t) \cdot 2xy \cdot x^2 + 2xf'(t) \\
&= 2x^3y f''(t) + 2xf'(t)
\end{aligned}
\]
\[\begin{aligned}
u_{yxx} &= \frac{\partial}{\partial x}(2x^3y f''(t) + 2xf'(t)) \\
&= 6x^2y f''(t) + 2x^3y f'''(t) \cdot t_x + 2f'(t) + 2xf''(t) \cdot t_x \\
&= 4x^4y^2 f'''(t) + 10x^2y f''(t) + 2f'(t)
\end{aligned}
\]
\[\therefore \frac{\partial^3 u}{\partial x^2 \partial y} = 4x^4y^2 f'''(t) + 10x^2y f''(t) + 2f'(t)
\]
习题集
S1：\(z = e^{xy}\sin(x+y)\)。求 \(z_x, z_y\)（用 Jacobian），并验证。
设 \(z = F(u,w) = e^u\sin w\)，\(v = g_1(x,y) = xy\)，\(w = g_2(x,y) = x+y\)。
定义 \(g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\)，\(g(x,y) = (xy, x+y)\)，则 \(z = (F \circ g)(x,y)\)。
\[JF = \begin{pmatrix} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial w} \end{pmatrix} = (e^u\sin w, \ e^u\cos w)
\]
\(g\) 的 Jacobian（\(2 \times 2\)）：
\[Jg = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y & x \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
\]
由链式法则：
\[Jz = JF|_{(u,v)=g(x,y)} \cdot Jg
\]
\[(z_x \ z_y) = (e^u\sin w \ e^u\cos w) \begin{pmatrix} y & x \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = (ye^u\sin w + e^u\cos w \quad xe^u\sin w + e^u\cos w)
\]
则：
\[\begin{cases} z_x = ye^{xy}\sin(x+y) + e^{xy}\cos(x+y) \\ z_y = xe^{xy}\sin(x+y) + e^{xy}\cos(x+y) \end{cases}
\]
S2：\(u = f(x, xy, xyz)\)，\(f \in C^1\)，证明：
\[xu_x + yu_y + zu_z = xf_1 + 2xyf_2 + 3xyzf_3 \quad (f_i \text{ 是偏导})
\]
解：
\[\begin{cases} u_x = f_1 + f_2 \cdot y + f_3 \cdot yz \\ u_y = f_2 \cdot x + f_3 \cdot xz \\ u_z = f_3 \cdot xy \end{cases}
\]
代入：
\[\begin{aligned}
\text{LHS} &= xf_1 + xyf_2 + xyzf_3 + xyf_2 + xyzf_3 + xyzf_3 \\
&= xf_1 + 2xyf_2 + 3xyzf_3 \quad \square
\end{aligned}
\]
S3：设 \(f(x,y)\) 可微。\(x = r\cos\theta\)，\(y = r\sin\theta\)。证明：
\[(f_x)^2 + (f_y)^2 = (f_r)^2 + \frac{1}{r^2}(f_\theta)^2
\]
\[f_r = f_x x_r + f_y y_r = \cos\theta \cdot f_x + \sin\theta \cdot f_y
\]
\[f_\theta = f_x x_\theta + f_y y_\theta = -r\sin\theta \cdot f_x + r\cos\theta \cdot f_y
\]
则：
\[f_r^2 + \frac{1}{r^2}f_\theta^2 = (f_x)^2 + (f_y)^2 \quad \text{(展开即得)} \quad \square
\]
S4：设 \(z = z(x,y)\) 由 \(x^2+y^2+z^2-4z=0\) 确定，求 \(z_x, z_y\)。
设 \(F(x,y,z) = x^2+y^2+z^2-4z\)。
\[\begin{cases} F_x = 2x \\ F_y = 2y \\ F_z = 2z-4 \end{cases}
\]
\(F_z \neq 0\) 即 \(z \neq 2\)。在 \(z \neq 2\) 时，\(z = z(x,y)\) 由 \(F=0\) 唯一确定。
\[z_x = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{2x}{2z-4} = \frac{x}{2-z}
\]
\[z_y = \frac{y}{2-z}
\]
S5：\(z = f(2x+3y, x^2y)\)，\(f \in C^2\)，求 \(z_{xx}, z_{xy}\)。
设 \(u = 2x+3y\)，\(v = x^2y\)。\(z = f(u,v)\)。
\[u_x = 2, \quad u_y = 3, \quad v_x = 2xy, \quad v_y = x^2
\]
\[\begin{cases} z_x = f_u \cdot u_x + f_v \cdot v_x = 2f_u + 2xyf_v \\ z_y = f_u \cdot u_y + f_v \cdot v_y = 3f_u + x^2f_v \end{cases}
\]
\[z_{xx} = 2\frac{\partial f_u}{\partial x} + 2yf_v + 2xy\frac{\partial f_v}{\partial x}
\]
\[\frac{\partial f_u}{\partial x} = f_{uu} \cdot u_x + f_{uv} \cdot v_x = 2f_{uu} + 2xyf_{uv}
\]
\[\frac{\partial f_v}{\partial x} = f_{vu} \cdot u_x + f_{vv} \cdot v_x = 2f_{vu} + 2xyf_{vv}
\]
\[\therefore z_{xx} = 4f_{uu} + 8xyf_{uv} + 4x^2y^2f_{vv} + 2yf_v
\]
同理：
\[z_{xy} = 6f_{uu} + (2x^2+6xy)f_{uv} + 2x^3yf_{vv} + 2xf_v
\]
S6：设 \(e^z + xyz = 1\)，确定 \(z = z(x,y)\)。求 \(z_x, z_{xx}(0,0)\) 值。
解：经典隐函数问题。先确定 \(z(x,y)\)。
\(e^{z(0,0)} + 0 = 1 \Rightarrow z(0,0) = 0\)。
设 \(F(x,y,z) = e^z + xyz - 1 = 0\)。
则 \(F_x = yz\)，\(F_y = xz\)，\(F_z = e^z + xy\)。
\[z_x = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{yz}{e^z+xy}
\]
在 \((0,0)\) 处（\(z=0\)）：\(z_x(0,0) = 0\)。
对原方程关于 \(x\) 求导：\(e^z z_x + yz + xyz_x = 0\)。（1）
再求导：\(e^z(z_x)^2 + e^z z_{xx} + yz_x + yz_x + xyz_{xx} = 0\)。（2）
代入 \(z_x=0 \Rightarrow z_{xx}(0,0) = 0\)。
S7：设 \(x = \ln(1+t^2)\)，\(y = t - \arctan t\)。求 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。
解：计算 \(\frac{dy}{dx}\)。
\[x_t' = \frac{2t}{1+t^2}, \quad y_t' = \frac{t^2}{1+t^2}, \quad \frac{dy}{dx} = \frac{y_t'}{x_t'} = \frac{t}{2}
\]
\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(\frac{dy}{dx})_t'}{x_t'} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2t}{1+t^2}} = \frac{1+t^2}{4t}
\]
S8：验证 d'Alembert 解满足波动方程。
\(u = \varphi(x+at) + \psi(x-at)\)，其中 \(\varphi, \psi \in C^2\)。验证 \(u_{tt} = a^2 u_{xx}\)。
解：设 \(\xi = x+at\)，\(\eta = x-at\)。\(u = \varphi(\xi) + \psi(\eta)\)。
\[u_t = \varphi_\xi \xi_t + \psi_\eta \eta_t = a\varphi_\xi - a\psi_\eta
\]
\[u_{tt} = a\varphi_{\xi\xi}\xi_t - a\psi_{\eta\eta}\eta_t = a^2\varphi''(\xi) + a^2\psi''(\eta)
\]
同理 \(u_{xx} = \varphi''(\xi) + \psi''(\eta)\)。
则 \(u_{tt} = a^2 u_{xx}\)。\(\square\)
S9：坐标变换化简 PDE。
将方程 \(u_{xx} - 4u_{xy} + 3u_{yy} = 0\) 通过恰当线性变量替换化为标准型 \(u_{\xi\eta} = 0\)。求出通解。
解：特征方程：
\[\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 4\left(\frac{dy}{dx}\right) + 3 = 0
\]
\[\therefore \frac{dy}{dx} = -1 \quad \text{或} \quad \frac{dy}{dx} = -3
\]
取 \(\xi = y+x\)，\(\eta = y+3x\)。
\(\xi_x=1, \xi_y=1, \eta_x=3, \eta_y=1\)。
\[\partial_x = \partial_\xi + 3\partial_\eta, \quad \partial_y = \partial_\xi + \partial_\eta
\]
代入：
\[u_{xx} - 4u_{xy} + 3u_{yy} = \partial_x^2 - 4\partial_y\partial_x + 3\partial_y^2
\]
化简得 \(-4u_{\xi\eta} = 0 \Rightarrow u_{\xi\eta} = 0\)。
通解为：\(F(x+y) + G(3x+y)\)。
S10：验证 \(f(x,y) = \sqrt{x^3+y^3}\) 满足 Euler 齐次函数定理并求 \(n\)。
解：
\[f(tx,ty) = \sqrt{(tx)^3+(ty)^3} = t^{\frac{3}{2}}f(x,y), \quad n = \frac{3}{2}
\]
验 \(xf_x + yf_y = nf\)：
\[f_x = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3+y^3}}, \quad f_y = \frac{3y^2}{2\sqrt{x^3+y^3}}
\]
\[xf_x + yf_y = x\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3+y^3}} + y\frac{3y^2}{2\sqrt{x^3+y^3}} = \frac{3}{2}f(x,y) \quad \square
\]
E11：不使用 L-B 公式，仅用算子方法完整推导：
\[\Delta f = f_{rr} + \frac{1}{r}f_r + \frac{1}{r^2}f_{\theta\theta}
\]
解：
\[\begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} r^2 = x^2+y^2 \\ \tan\theta = \frac{y}{x} \end{cases}
\]
\[2rr_x = 2x \Rightarrow r_x = \frac{x}{r}, \quad r_y = \frac{y}{r}
\]
\[\sec^2\theta \cdot \theta_x = y \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) \Rightarrow \theta_x = \frac{-y}{x^2\sec^2\theta} = \frac{-\sin\theta}{r}
\]
\[\sec^2\theta \cdot \theta_y = \frac{1}{x} \Rightarrow \theta_y = \frac{\cos\theta}{r}
\]
\(\Delta f = f_{xx} + f_{yy}\)。
\[f_x = r_x f_r + \theta_x f_\theta = \cos\theta f_r - \frac{\sin\theta}{r}f_\theta
\]
\[f_y = \sin\theta f_r + \frac{\cos\theta}{r}f_\theta
\]
（注：\((\frac{x}{r})_x = (\cos\theta)_x = -\sin\theta \cdot \theta_x\)）
\[\begin{aligned}
f_{xx} &= \cos^2\theta f_{rr} - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r}f_{r\theta} + \frac{\sin^2\theta}{r^2}f_{\theta\theta} \\
&\quad + (-\sin\theta)(-\sin\theta)f_r - \frac{\cos\theta(\frac{-\sin\theta}{r})r - \cos\theta\sin\theta}{r^2}f_\theta \\
&= \cos^2\theta f_{rr} - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r}f_{r\theta} + \frac{\sin^2\theta}{r^2}f_{\theta\theta} + \frac{\sin^2\theta}{r}f_r + \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2}f_\theta
\end{aligned}
\]
同理：
\[f_{yy} = \sin^2\theta f_{rr} + \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r}f_{r\theta} + \frac{\cos^2\theta}{r^2}f_{\theta\theta} + \frac{\cos^2\theta}{r}f_r - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2}f_\theta + \frac{\cos^2\theta}{r^2}f_{\theta\theta}
\]
则 \(\Delta f = f_{rr} + \frac{1}{r}f_r + \frac{1}{r^2}f_{\theta\theta}\)。\(\square\)
E12：三层复合 Jacobian。
设 \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\)，\(f(s,t) = (s^2-t^2, 2st, s^2+t^2)\)。
\(g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\)，\(g(u,v) = (e^u\cos v, e^u\sin v)\)。
\(h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\)，\(h(r) = (r, 2r)\)。
求 \(J_{f \circ g \circ h}(0)\)。
解：
\[J_{f \circ g \circ h}(0) = Jf(g(h(0))) \cdot Jg(h(0)) \cdot Jh(0)
\]
\(h(0) = (0,0)\)，\(g(0,0) = (1,0)\)。
\[Jh = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad Jg = \begin{pmatrix} e^u\cos v & -e^u\sin v \\ e^u\sin v & e^u\cos v \end{pmatrix}
\]
\[Jf = \begin{pmatrix} 2s & -2t \\ 2t & 2s \\ 2s & 2t \end{pmatrix}
\]
则 \(J_{f \circ g \circ h}(0) = \begin{pmatrix} 2 \\ 2\pi \\ 2 \end{pmatrix}\)。
E13：抽象二阶混合导。
\(z = f(x+g(y))\)，\(f \in C^2(\mathbb{R})\)，\(g \in C^2(\mathbb{R})\)。求 \(z_{xy}, z_{yy}\) 并验证 \(z_{xy} = g'(y) \cdot z_{xx}\)。
解：设 \(u = x+g(y)\)，\(z = f(u)\)。
\[z_x = f'(u)u_x = f'(u), \quad z_{xx} = f''(u) \cdot u_x = f''(u)
\]
\[z_y = f'(u) \cdot u_y = f'(u)g'(y)
\]
\[z_{xy} = \frac{\partial}{\partial x}(f'(u)g'(y)) = f''(u)u_x g'(y) + f'(u)g''(y)y_x = f''(u)g'(y)
\]
\[z_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(f'(u)g'(y)) = f''(u)u_y g'(y) + f'(u)g''(y) = f''(u)(g'(y))^2 + f'(u)g''(y)
\]
并显然有 \(z_{xy} = g'(y)z_{xx}\)。\(\square\)
E14：构造 PDE 恒等式。
设 \(z = yf(x^2-y^2)\)，\(f \in C^2\)。证明：
\[\frac{1}{x}\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{1}{y}\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{z}{y^2}
\]
解：
\[z_x = yf'(t) \cdot 2x = 2xyf'(t)
\]
\[z_y = f(t) - 2y^2f'(t)
\]
则：
\[\frac{1}{x}z_x + \frac{1}{y}z_y = \frac{f(t)}{y}
\]
右端：\(\frac{z}{y^2} = \frac{yf(t)}{y^2} = \frac{f(t)}{y} = \text{LHS}\)。\(\square\)
E15：Schwarz 定理反例的完整验证。
\[f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}
\]
(a) 计算 \(f_x(0,y)\) 和 \(f_y(x,0)\)；
(b) 由定义计算 \(f_{xy}, f_{yx}(0,0)\)；
(c) 证明 \(f_{xy}, (f_{yx})\) 在 \((0,0)\) 处不连续。
解：(a) \(f(0,y) = 0\)。
\[f_x(0,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,y)-0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \frac{hy(h^2-y^2)}{h^2+y^2} = \lim_{h \to 0} \frac{y(h^2-y^2)}{h^2+y^2} = \frac{y(-y^2)}{y^2} = -y
\]
同理 \(f_y(x,0) = x\)。
(b) 计算 \(f_{xy}(0,0)\) 和 \(f_{yx}(0,0)\)。
\[f_{xy}(0,0) = \frac{\partial}{\partial y}(f_x)\bigg|_{(0,0)} = \lim_{k \to 0} \frac{f_x(0,k)-f_x(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{-k-0}{k} = -1
\]
同理 \(f_{yx}(0,0) = 1 \neq -1\)。（Schwarz 失效）
(c) 计算 \(f_{xy}: (x,y) \neq (0,0)\)。
\[f = \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} = \frac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2}
\]
\[f_x = \frac{(3x^2y-y^3)(x^2+y^2) - 2x(x^3y-xy^3)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}
\]
\[f_{xy} = \frac{x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6}{(x^2+y^2)^3}
\]
令 \(y=0 \Rightarrow f_{xy}=1\)。令 \(x=0 \Rightarrow f_{xy}=-1\)。
且 \(f_{xy}\) 显然在 \((0,0)\) 不连续。\(\square\)
E16：椭圆坐标下 Laplacian。
设 \(x = a\cosh u \cos v\)，\(y = a\sinh u \sin v\)（\(a>0\)）。
证明：
\[\Delta f = \frac{1}{a^2(\cosh^2 u - \cos^2 v)}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial u^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial v^2}\right)
\]
解：逆向思维。
\[\frac{\partial}{\partial u} = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial}{\partial y} = x_u \partial_x + y_u \partial_y
\]
\[\frac{\partial}{\partial v} = x_v \partial_x + y_v \partial_y
\]
且：
\[\begin{cases} x_u = a\sinh u \cos v \\ x_v = -a\cosh u \sin v \\ y_u = a\cosh u \sin v \\ y_v = a\sinh u \cos v \end{cases}
\]
\[\frac{\partial^2}{\partial u^2} = x_u^2 \partial_{xx} + 2x_u y_u \partial_{xy} + y_u^2 \partial_{yy} + x_{uu}\partial_x + y_{uu}\partial_y
\]
同理：
\[\frac{\partial^2}{\partial v^2} = x_v^2 \partial_{xx} + 2x_v y_v \partial_{xy} + y_v^2 \partial_{yy} + x_{vv}\partial_x + y_{vv}\partial_y
\]
则：
\[\frac{\partial^2}{\partial u^2} + \frac{\partial^2}{\partial v^2} = a^2(\cosh^2 u - \cos^2 v)\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right) \quad \square
\]
注：双曲函数经典性质（记忆计算）：
\[\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}, \quad \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
\]
\[\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}, \quad \sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2}
\]
\[\begin{cases} \cos(ix) = \cosh x \\ \sin(ix) = i\sinh x \end{cases}
\]
Osborn 法则：当仅两个 \(\sin\) 积时变号（\(\sin^2/\tan^2\)）。
\[\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1
\]
\[\sinh(A+B) = \sinh A \cosh B + \sinh B \cosh A
\]
\[\cosh(A+B) = \cosh A \cosh B + \sinh A \sinh B
\]
\[\cosh(2x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x
\]
S18：Wirtinger 算子高阶应用。
\[\partial_z = \frac{1}{2}(\partial_x - i\partial_y), \quad \partial_{\bar{z}} = \frac{1}{2}(\partial_x + i\partial_y)
\]
\[\left(z = x+iy, \quad x = \frac{z+\bar{z}}{2}, \quad y = \frac{i(z-\bar{z})}{-2}\right)
\]
证明：\(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\)，\(\Delta f = 0\)，则 \(g: f_x - if_y\) 是 \(z\) 的全纯（\(\frac{\partial g}{\partial \bar{z}} = 0\)）。
解：用 Wirtinger 算子表达 \(g\)。
\[g = f_x - if_y = (\partial_x - i\partial_y)f = 2\frac{\partial f}{\partial z}
\]
\[\frac{\partial g}{\partial \bar{z}} = \frac{\partial}{\partial \bar{z}}\left(2\frac{\partial f}{\partial z}\right) = 2\frac{\partial^2 f}{\partial \bar{z} \partial z}
\]
\[\Delta f = 4\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial \bar{z}} = 0 \Rightarrow \frac{\partial g}{\partial \bar{z}} = 0 \quad \square
\]
E19：二阶 Euler 齐次函数定理。
设 \(f(x,y)\) 是 \(n\) 次齐次函数，\(f \in C^2\)，证明：
\[x^2f_{xx} + 2xyf_{xy} + y^2f_{yy} = n(n-1)f
\]
方法一：
\(xf_x + yf_y = nf\)（一阶）。
对 \(f(tx,ty) = t^n f(x,y)\)：
\(f_x(tx,ty) \cdot t = t^n f_x(x,y) \Rightarrow f_x\) 是 \((n-1)\) 阶齐次函数。
\[\begin{cases} xf_{xx} + yf_{xy} = (n-1)f_x & \text{(1)} \\ xf_{xy} + yf_{yy} = (n-1)f_y & \text{(2)} \end{cases}
\]
(1)\(\times x\) + (2)\(\times y\)：\(x^2f_{xx} + 2xyf_{xy} + y^2f_{yy} = (n-1)(xf_x + yf_y) = (n-1)nf\)。\(\square\)
方法二：
直接令 \(\varphi(t) = f(tx,ty) = t^n f(x,y)\)。
\(\varphi'(t) = f_x(tx,ty) \cdot x + f_y(tx,ty) \cdot y\)。
\(\varphi''(t) = x^2f_{xx}(tx,ty) + 2xyf_{xy}(tx,ty) + y^2f_{yy}(tx,ty) = n(n-1)t^{n-2}f(x,y)\)。
取 \(t=1\) 即得。
推广：
\[\sum_{|\alpha|=k} \frac{k!}{\alpha!} x^\alpha D^\alpha f = n^{\underline{k}} f
\]
（其中 \(n^{\underline{k}}\) 为下降阶乘）。
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