P1197 [JSOI2008]星球大战 题解

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题意简述

给定一张无向图，每次删去一个节点，问每次操作后的连通块个数。

分析

\(m\le2\times10^5,n\le2\cdot m\)，如果每次暴力删点再 bfs，必定超时。

还记得上次提到的 [USACO16OPEN]Closing the Farm 吗？这两题非常非常相似，我们可以将删点转换为加点，倒序处理，再求连通块即可。

算法步骤如下：

1. 建图，读入每次删去的节点。
2. 先预处理出起始图（即把幸免遇难的节点做并查集），统计连通块数。
3. 倒序处理，先是连通块数 \(cnt \leftarrow cnt + 1\)（自成一块），再维护即可。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxm=2e6+10;
const int maxn=maxm<<1;
int n,m;
int k;
int fa[maxn];
int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
void merge(int x,int y){
    x=find(x),y=find(y);
    if(x!=y)fa[x]=y;
}

struct edge{
    int to,nxt;
}e[maxm<<1];
int head[maxn],idx;
void link(int x,int y){
    e[++idx]={y,head[x]};
    head[x]=idx;
}
int del[maxn];
bool damage[maxn];
int ans[maxn];
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<=n;i++)fa[i]=i;
    for(int i=1,x,y;i<=m;i++){
        cin>>x>>y;link(x,y);link(y,x);
    }
    cin>>k;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        cin>>del[i];
        damage[del[i]]=true;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!damage[i]){
            for(int j=head[i];j;j=e[j].nxt){
                int v=e[j].to;
                if(!damage[v]){
                    merge(i,v);
                }
            }
        }
    }
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(fa[i]==i&&!damage[i]){
            cnt++;
        }
    }int fin=cnt;
    for(int i=k;i>=1;i--){
        int x=del[i];
        damage[x]=false;
        cnt++;
        for(int j=head[x];j;j=e[j].nxt){
            int v=e[j].to;
            if(!damage[v]){
                if(find(x)!=find(v)){
                    fa[find(x)]=find(v);
                    cnt--;
                }
            }
        }
        ans[i]=cnt;
    }
    for(int i=1;i<=k;i++){
        cout<<ans[i]<<'\n';
    }
    cout<<fin;
    return 0;
}

小结

这是本人写的第 \(4\) 篇并查集题解了。

并查集真的很多变，做了这么多变式并查集题目，相信大家可以好好掌握，秒切并查集。