8.31 上午 becoder 模拟赛总结 & 题解

T1 四个质数的和

赛场亲测搜索+小剪枝可以得到 70pts。

考虑 \(O(p(V)^2)\)枚举任意两个质数的和，其中 \(p(V)\) 表示 \(V\) 以内质数的个数。

然后开个数组记录下对于每种和的记录有多少种情况，查询时 for 循环扫一遍即可，详见代码。

复杂度去掉质数筛 \(O(p(V)^2+tn)\)，代码贴在下面(100pts)：

#define N 100005
int t,n,cnt,pr[N];
long long ans,prs[N<<1];
int main(){
   //pr 存储的是 V 以内的质数
   for(int i=1;i<=cnt;i++)
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
            prs[pr[i]+pr[j]]++;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n),ans=0;
        for(int i=1;i<n;i++)  ans+=prs[i]*prs[n-i];
        printf("%lld\n",ans);
    }
}

T2 匹配最大异或

位运算的题我们考虑分离二进制下的每一位，这道题使用的是分治。

分治从 \([0,2^{m-1})\) 开始，这样我们可以保证当前枚举的这一层前面的二进制位都是相同的。

所以我们考虑当前枚举到的这一位中的两种情况：

第一种，\(a\) 数组的这一位上的值都相同，此时这一位就无法对答案产生影响。

这个时候就要求对于这一位分别是 \(0,1\) 且其它位相同的两个数所选定的 \(p\) 值必须相同，才能保证这两个数都能取得最大取值。

第二种，\(a\) 数组的这一位上的值有 \(0\) 也有 \(1\)这个时候这一位上是 \(0\) 就必须选 \(1\)，反之亦然。

这个时候就要求对于这一位分别是 \(0,1\) 且其它位相同的两个数所选定的 \(p\) 值必须不同，才能保证这两个数都能取得最大取值。

以上两种情况已经涵盖了全部，所以中途出现的其它情况直接返回 \(0\) 即可。

时间复杂度 \(O(n \log n)\)，代码如下(100pts)：

long long solve(int l,int r){
    if(l==r)  return 1;
    int cnt=0,mid=(l+r)>>1;
    for(int i=l;i<=mid;i++)  cnt+=(p[i]==p[i+mid-l+1]);
    if(cnt==mid-l+1)  return (solve(l,mid)<<1)%mod;
    if(!cnt)  return (solve(l,mid)*solve(mid+1,r))%mod;
    return 0;
}
int main(){solve(1,(1<<m)-1);}

T3 虫食算

我代码在洛谷交是 AC 的，但是交 becoder 卡了好久死活 90pts 过不去。

这道题其实有高斯消元的正解，但是我们不管，考虑搜索+剪枝。

正常的搜索大家都会，直接 \(O(n!)\) 枚举每一位上的数即可，这样就已经可以过掉 30pts 的数据了，然后我们考虑怎么剪枝。

搜索的时候我们选择从最低位开始进行搜索，因为这样我们能在搜索中直接把进位给算出来，就可以少考虑很多情况。

对于每一位我们直接枚举三个字母对应值，原本有就跳过，然后如果三个字母加上进位满足条件，就带着这个值往下搜索。

枚举字母值的时候我们则选择从大到小枚举，因为最高位是不能进位的，所以能进位的就优先放到低位。

通过如上代码就可以在洛谷的评测环境通过了，但是 becoder 的评测机不行，还要剪枝，但我不会了，希望来两个好心人帮我剪。

代码如下(becoder 90pts，Luogu 100pts)：

char a[30],b[30],c[30];
int n,f[30],go[30],s[100];
int gmod(int x,int &y){return x>=n?(y=1,x-n):(y=0,x);}
void dfs(int x){
    if(!x){
        for(int i=0;i<n;i++)  printf("%d ",s['A'+i]);
        exit(0);
    }
    for(int i=n-1,fl1=0;i>=0;i--){
        if(s[a[x]]!=-1)  fl1=1;
        else if(f[i])  continue;
        if(!fl1)  f[i]=1,s[a[x]]=i;
        for(int j=n-1,fl2=0;j>=0;j--){
            if(s[b[x]]!=-1)  fl2=1;
            else if(f[j])  continue;
            if(!fl2)  f[j]=1,s[b[x]]=j;
            int tmp=gmod(s[a[x]]+s[b[x]]+go[x+1],go[x]);
            if(s[c[x]]!=-1&&tmp==s[c[x]])  dfs(x-1);
            if(s[c[x]]==-1&&!f[tmp])  s[c[x]]=tmp,f[tmp]=1,dfs(x-1),f[tmp]=0,s[c[x]]=-1;
            if(fl2)  break;f[j]=0,s[b[x]]=-1;
        }
        if(fl1)  break;f[i]=0,s[a[x]]=-1;
    }
}
int main(){scanf("%d%s%s%s",&n,a+1,b+1,c+1),fill(s,s+100,-1),dfs(n);}

T4 染色相邻的边

NOIP 巩固练习 5,NOI2011 轻重边。

只不过输出的时候换成了用两点间的路径长减去原来的 ans 值而已，没啥好说的，跳过吧。