线代学习日记：相似矩阵

定义：矩阵A和矩阵B相似则存在矩阵P满足$$P^{-1} A P = B$$
矩阵相似的本质是在不同的基向量下描述同一个线性变换。而如果能在某一组基向量下描述这个线性变换使得只在基向量的方向上伸缩，即用矩阵描述时是一个对角矩阵将为我们的计算提供便利，我们很容易想到将特征向量作为基向量，因此我们只需将基向量转化为特征向量就可以将其对角化。所以我们就将特征向量作为\(P\)的列向量。也就是在经过矩阵P的线性变换后的基下的矩阵A的线性变换就是在原本的基下的矩阵B的线性变换。\(P^{-1}\)就是转换回原来的基的线性变换。