OI trick？（OI 技巧/套路/思想/卡常方向）

在这里记录下每次让我大开眼界的神秘题目与思想。
如果你发现数字对不上，肯定是我删掉了一些因为我红温加上的神秘东西。

1. 绝对值，考虑转化在图形上，可以变成与一个点的距离，也可以进行分类讨论\(>0\)与\(<0\)的情况。AT_abc134_f [ABC134F] Permutation Oddness

2. 奇数这个性质很有可能是异或哈希。

  1. bitset的作用很多，不仅能优化空间，还能用来做字符串，优化暴力，alex-wei

4. 期望设状态为到达终点还有多少步，然后倒着枚举回来。

  1. 某某神秘性质：因为插入、删除、取模，空间大小原因，大于某某值是定值。圣剑护符球与盒子

6. meet in middle ,先于预处理一半，再暴力处理另一半，或者说两者同时进行序列异或

  1. 一个小于进制\(P\)数\(x\)依次乘上小于进制\(P\)的数，十位出现种类只有从\(0~x-1\)（似乎很显然，但是较难注意）乘法破译
  2. 将题目的条件简化->将两边都是不同的数，一方转化为相同的数（特殊数：0，1）。小蛋糕（cupcake）
  3. 发现只有一个数的变化，将它推到出对所有位置变化产生的贡献，这样就简化每个位置的变化影响。小蛋糕（cupcake）

10. 序列上关于某数的倍数跳跃消除影响或枚举因数，可以想到莫比乌斯函数。小蛋糕（cupcake）

11. 异或，或，与这种位运算可以想到按位\(dp\)。异或(xor)

  1. 状压dp套路：将小于\(\sqrt{n}\)的质因子存下来，有大于\(\sqrt{n}\)的最小质因子的数只会出现一次。平方数(square)。

13. 拆贡献第k大查询基本原理： 学习笔记

（补充，可以加起来的贡献一定要拆开啊！）

14. 关于子集，子序列，计数问题向\(dp\)方向靠（当然发现不会做时都向\(dp\)靠就对了）（好吧还有网络流）

  1. 对于几次方，大概率要拆开出来。

16. 正难则反，正着做不出来就容斥，序列上做不出来就考虑值域。P2501 [HAOI2006] 数字序列

  1. (min,+)卷积做不了，套路的会发现值要么几乎很小，要么几乎很大，枚举前几位进行\(0/1FFT\)(可行性FFT)（瞎编的名字，就是看它是否小于枚举的k值），然后跑暴力，跳过小于该阈值的位置。简单的打击
  2. 树上差分与dsu on tree的区别在于两者当前子树询问是否与当前子树有关，例如：小王子与树上数颜色，第一个是树上差分是因为求子树内黑色连边不在子树内的个数，第二个是dsu on tree是因为询问当前子树内某一种颜色。(第一个两个子树内且要满足求的信息可以存储，第二个一个子树内，第一个比第二个适用类型更窄，但复杂度更优)
  3. 组合数学习
  4. 异或也可以想到线性基C. 树上博弈（game）

21. 树上的区间是不存在交叉关系，所以如果树高为\(\sqrt{n}\)，所有子树dfn区间总和为\(n\sqrt{n}\)

  1. 若干个点的权重之和为 1 的线性组合形成的区域为这些点的凸包。CF1765F Chemistry Lab
  2. 注意条件如果是限定的总和，可以考虑根号分治，小于\(\sqrt{n}\)直接存，大于\(\sqrt{n}\)的只会有\(\sqrt{n}\)个。P10114 [LMXOI Round 1] Size P13494 【MX-X14-T4】分门别类
  3. 如果使用动态空间，稠密图用vector，稀疏图用链式前向星（存图就相当于用动态空间（树就用后者，图就用前者）P13642 EERT
  4. 二分答案 P4447 [AHOI2018初中组] 分组 P4857 [PA 2013] Konduktorzy P6397 [COI 2008] GLASNICI
  5. 二分答案 CF gym102354 B. Yet Another Convolution
  6. 各种求和
  7. \(mex\) 就是补集 \(\min\)，于是可以发现 \(mex(q_{l∼r})=\min(a_{ l−1},b_{ r+1})\)P13662 「TPOI-5A」Luminescence
  8. 注意平衡复杂度，发现解法复杂度有点高过你的预期，发现其他操作你没有拉满的复杂度进行平衡一下。
  9. 求gcd数对用莫比乌斯反演，求值也可以尝试用欧拉反演.
    莫比乌斯函数本质就是抽出来按质因子个数影响的容斥系数

33.不要啥都把单调性二分想着，如果你推的出式子，不妨想一想解方程 P13696 「CyOI」出包魔法师

  1. 最长公共子序列可以联想差分后状压P4590 [TJOI2018] 游园会 P4484 [BJWC2018] 最长上升子序列
  2. 一段区间的异或值，可以使用前缀异或值相异或，即 \(l\) 到 \(r\) 的区间异或值等于 \(a_{l-1} \oplus a_r\)。P4462 [CQOI2018] 异或序列
  3. 回文串重排构成条件是每种数最多出现一种奇数个情况，可以使用异或哈希，种类小直接用状压P3604 美好的每一天

37. 当一个点(x,y)对整体做贡献时，可以将它做的贡献分为四个区间进行————左上，左下，右上，右下，这样跑四遍就可以算出来总贡献，多维同理，且这样做就可离线下来做，没有后效性。P13789 「CZOI-R6」游戏P1648 看守C. 巡逻网络（net）(对于第二个，因为是求max，所以没必要求哪些点一定在当前你指定的区间内，算错的部分都会因为被正确距离更大而覆盖) E. Points Selection

38. 转化计算过程T636766 「LDOI R3」泡泡抗特 P13595 『GTOI - 1B』筝

  1. 枚举子集再枚举子集的子集，复杂度为\(O(3^n)\),高维前缀和学习笔记
  2. DP的转移条件知道，不妨将转移条件放入DP数组中P10523简单题
  3. 贪心与DP的思想 P10524煎蛋题
  4. 二进制与性质的题：C. 符文石 (stone)
  5. 网络流将最大流改为可行流只需要在源点处再加一个源点连向它，容量为可行流的流量即可。
  6. 树中抵达 \(k\) 个关键点点后不回到终点，可使用减去最长链。P6419 [COCI 2014/2015 #1] Kamp

45. 对于答案组成不是简单式子组成的，要么是先将它化简，否则是 \(dp\) 或网络流。

  1. 网络流中不要用寻址！！！要用的话注意这个情况
  2. 合并答案 1318. 【NOIP2013模拟11.7A组】JIH的玩偶(tree) CF2043G Problem with Queries

49. 具有单调性，要注意 在t时刻 i<i+1<i+2 val[i+2]>val[i]>val[i+1]，无法使用单调队列及时弹出。P5504 [JSOI2011] 柠檬

50. 整体思想/替换思想 全局+val -> 全局不动，求的值减val P10596可重集合

51. 如果多个相同数与一个或少数个贡献相同时，考虑离线把l or r做扫描线，只保留最近的几个相同数 P1972 [SDOI2009] HH 的项链 P12410 「知りたくなかった、失うのなら」

52. 跟上面max情况是差不多的，错误情况会被正确的覆盖P2495 [SDOI2011] 消耗战 /【模板】虚树（dp需要的是两点（一个是另一个祖先）之间的最小值，直接记录到根的最小值显然是对的）

  1. 很妙的dpCF1609E William The Oblivious

54. woc，题做傻了，这题是区间修改，单点查询，tm根本不需要在区间节点处维护信息，懒标记随你怎么维护，能传到叶子就行了。P11536 [NOISG 2023 Finals] Curtains

  1. Hall定理https://www.luogu.com.cn/problem/P8346
  2. 对只有推平（或者其他操作对颜色段影响不大）的操作的考虑段数的势能分析。
  3. 对倍增的题型还是不够熟。
  4. 高斯消元后你转移的系数是不变的！！！P10772随机游走
  5. 多源最短路问题通解：分治中心P6976 [NEERC 2015] Distance on Triangulation P3350 [ZJOI2016] 旅行者
  6. 分类问题dp，考虑将一个点设为必选状态AT_abc213_g [ABC213G] Connectivity 2 AT_abc253_h [ABC253Ex] We Love Forest
  7. 排列计数dp，不要考虑如何放，而是考虑如何插。
  8. 注意答案形式的特殊，比如可能是一个前缀和，区间模样，可以考虑快速计算答案
  9. 注意是幂等信息，可以将状态重叠的使用https://www.luogu.com.cn/article/2i6n0vkw
  10. 对于两种完全不同的转移最短路该怎么做AT_abc261_h [ABC261Ex] Game on Graph
  11. 根本观察不到性质：B. 换乘旅行（travel）
  12. 为什么考试时智商为0，想不到枚举最大值C. 优美的街景（street）
  13. 造数据检验器时空格要做到万无一失，也不要多，换行则是按人的写法来
  14. P4714 「数学」约数个数和
  15. https://www.luogu.com.cn/article/cq9f9q2c

操了，trick太多了，一般trick就不放了，只记录重要的。

70.树的性质：1.进行染色是二分图，更加具体是奇数层之间为白，偶数层为黑（例题：qoj8559 其中 \(k=2\) 的构造方法，建出 \(dfs\) 生成树，答案是欧拉序+返祖边跑两遍，具体证明参考染色）
71. 卡常多维数组，维度空间更小的放前面更快，好像是可以减少 cache miss 次数

72. 序列问题方法：1.带偏序考虑排序后插入 2.判定，比大小考虑逆序对

  1. 找包含单点值的贡献，考虑固定该单点，寻找哪些区间包含这个点。

74. 似乎有点显然的性质，但是我一直注意不到： 括号序列匹配是一对一的，不存在多种匹配方式（所以栈十分适配）

  1. 处理分段函数的方法
  2. P3792 由乃与大母神原型和偶像崇拜 考虑判定奇奇怪怪东西用其他东西刻画。
  3. image
  4. 对于不同 少种类 种的情况，可以考虑进行重新排序来使不同的情况形成一段区间形式 货流运输 AT_abc232_g [ABC232G] Modulo Shortest Path
  5. 加1减1为单调的。
posted @ 2025-07-17 21:26  thousands_of_years  阅读(299)  评论(6)    收藏  举报