游戏中的2d数学-判断一个点是否在三角形内部
资料参考
题外话
scratchapixel的文章都很不错，缺点是稍啰嗦，啃起来比较慢。
老外的教程都是怕别人看不懂，一个概念用2种方法说2遍的那种。
下面是总结：
首先我们先来判断一个点在直线的左边还是右边
设直线起点和终点分别是p0和p1，点为p
我们用p1-p0 得到直线的向量 \(\vec l\)
用p-p0得到关于p点的向量 \(\vec p\)
然后对2个向量使用叉乘：
\(\vec l \times \vec p\)
利用2d向量的叉乘性质，在右手坐标系中
如果点p在直线的右边，叉乘结果>0
如果点p在直线的左边，叉乘结果<0
如果点p在直线上，叉乘结果=0
对三角形来说，利用这个原理，对三角形的三条边分别叉乘
如果三个结果都>0或者都<0，则点在三角形内部
以下是对scratchapixel关于点在三角形内部判断的节选翻译：
边界函数
之前已经提到过，得到点是否和三角形重合有多重方法。列出更古老的方法确实是个不错的主意，不过这个课程中，我们只说明当今最普遍的方法。这个方法被Juan Pineda 在1988年的论文《"A Parallel Algorithm for Polygon Rasterization》中被提出。
在我们开始细究Pineda的技术之前，我们先描述一下算法的原理。我们可以说，一个三角形的边可以看做是一条把一个2d平面分成2个部分的直线。Pineda的算法的原理是找到一个函数,他称之为边界函数，这样我们可以测试给定一个点在直线的哪一边（图二的点p）。点在直线的左边，则这个函数返回负数，右边返回正数，恰好在直线上则返回0。
原文的图2
在图2中，我们用这个函数对三角形的第一条边（用顶点v0和v1定义。注意2者的先后顺序非常重要）进行检测。如果我们对另外2条边也用相同的方法，我们可以清晰的看到一个区域（白色部分），这个区域内的所有点都是正值（图3）
原文的图3
如果我们取这个区域内的任意一点，我们就能发现，这个点位均为于三条边的右侧。如果P是在一个像素中心的一个点，我们就可以使用这个方法判断像素是否和三角形重叠。假设对于这个点，我们发现三角形的所有三条边均返回正值，那么该像素被三角形包含（或者与某条边重合）。Pinada 的这个方法正巧是线性的，这就意味着这个方法可以被增量计算，这一点我们待会再讲。
既然我们已经理解了原理，让我们揭示下这个函数是什么。边界函数被定义为（边界用顶点v0和v1来定义）：
就像论文中说的，这个函数有用的属性是这个值反映了点（x,y）相对于V0和V1定义的边的位置：
E(P) > 0，P在直线的右侧
E(P) = 0，P恰好在直线上
E(P) < 0，P在直线的左侧
实际上这个函数等价于数学上向量(v1-v0)和向量（P-V0）之间叉乘的结果。我们也可以把这2个向量用矩阵的形式写出（用矩阵描述不涉及其他方面，仅仅是为了书写起来更简洁）。
如果我们令\(A=(P−V0)\)，$ B=(V1−V0)$,那么我们可以把上面的形式写成关于A和B的2X2矩阵
计算这个矩阵的行列式：
\(A.x∗B.y−A.y∗B.x\)
如果你把A和B用向量 (P-V0)和 (V1-V0) 替换，得到：
\((P.x−V0.x)∗(V1.y−V0.y)−(P.y−V0.y)∗(V1.x−V0.x)\)
你发现，这个和上面定义的边界函数是一样的。换句话说，这个边界函数也可以被看做是有2D向量(P-v0)和 (v1-v0) 构成的2X2矩阵的行列式，或者是 (P-V0) 和 (V1-V0)这2个向量之间的叉积。事实上2个向量的行列式和叉乘的大小都有相同的集合解释。
当我们观察3d向量之间（图4）的叉乘的时候，我们可以更容易理解到底发生了什么。在3D空间中，叉乘结果是返回另一个向量，该向量和另外2个源向量都垂直（或者说正交）。但就像你在图4上看到的那样，这个正交向量的大小随着2个向量之间的朝向而发生改变。当向量A（红色）和向量B（蓝色）同向或者反向时，叉乘结果向量C（绿色）的值是0。向量A在坐标（1,0,0）并且固定不动。B的坐标是（0,0,-1），那么绿色向量C的坐标是（0,-1,0）。假设我们想要找出C的“带正负的”大小，我们会发现他等于-1。另一个例子，当B的坐标等于（0,0,1），那么C的坐标是（0,1,0）并且“带正负的”大小等于1。第一个例子中，符号大小是负数，第二个例子是正数。
未完待续...
