复数傅里叶展开中的 $j\sin(kx)$

📘 复数傅里叶展开中的 \(j\sin(kx)\)

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🧠 复数傅里叶展开形式

复数形式的傅里叶级数写作：

\[f(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \cdot e^{jkx} \]

其中：

• \(c_k\) 是复数系数
• \(e^{jkx}\) 是复指数函数

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✅ 欧拉公式展开

根据欧拉公式：

\[e^{jkx} = \cos(kx) + j\sin(kx) \\ e^{-jkx} = \cos(kx) - j\sin(kx) \]

也就是说：

• 正频率项 \(e^{jkx}\) 含有 \(+j\sin(kx)\)
• 负频率项 \(e^{-jkx}\) 含有 \(-j\sin(kx)\)

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🔄 合并正负频率项

取某个频率 \(k\) 的共轭对项：

\[c_k e^{jkx} + c_{-k} e^{-jkx} \]

代入欧拉展开公式：

\[= c_k (\cos(kx) + j\sin(kx)) + c_{-k} (\cos(kx) - j\sin(kx)) \\ = (c_k + c_{-k}) \cos(kx) + j (c_k - c_{-k}) \sin(kx) \]

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🧩 为什么最后是实数？

如果 \(f(x)\) 是实值函数，则有共轭对称性：

\[c_{-k} = \overline{c_k} \]

因此：

\[c_k + c_{-k} = 2\Re(c_k) \\ c_k - c_{-k} = 2j\Im(c_k) \]

代入原式得到：

\[c_k e^{jkx} + c_{-k} e^{-jkx} = 2\Re(c_k) \cos(kx) - 2\Im(c_k) \sin(kx) \]

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✅ 最终实数形式的傅里叶展开

\[f(x) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left[ a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx) \right] \]

其中：

\[a_k = 2\Re(c_k), \quad b_k = -2\Im(c_k) \]

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🎯 总结一句话：

• \(j\sin(kx)\) 和 \(-j\sin(kx)\) 来自 \(e^{\pm jkx}\) 的展开。
• 它们在合并时虚部互相抵消，变成了实数形式的正弦项系数。
• 所以：

  \(j\) 没有“消失”，它转化为了 \(b_k\)，最终变成实数表达中的 \(\sin(kx)\) 项。

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🔍 对应转换公式对比

复数形式	实数形式展开
\(c_k e^{jkx} + c_{-k} e^{-jkx}\)	\(a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)\)
\(a_k = 2\Re(c_k)\)
\(b_k = -2\Im(c_k)\)

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