KKT条件
互补松弛性
设原问题和对偶问题的最优值都可以达到且相等，令
是原问题的最优解，
是对偶问题的最优解，这表明
第一个等式说明最优对偶间隙为零，第二个等式是对偶函数的定义，第三个不等式是根据Lagrange函数关于x求下确界小于等于其在
处的值得来，最后一个不等式的成立是因为
以及
，因此在上面的式子中，两个不等式取等号
可以由此得出一些有意义的结论。例如，由于第三个不等式变为等式，我们知道
关于x求极小时在
处取得最小值。（Lagrange函数
也可以有其他最小点；
只是其中一个最小点）
另外一个重要的结论是
事实上，求和的每一项都非正，因此有
上述条件称为互补松弛性；它对任意原问题最优解
以及对偶问题最优解
都成立。我们可以将互补松弛条件写成
或者等价地
KKT最优性条件
现在假设函数
可微（因此定义域是开集），但是并不假设这些函数是凸函数
1.非凸问题的KKT条件
和前面一样，令
和
分别是原问题和对偶问题的某对最优解，对偶间隙为零。因为
关于x求极小在
处取得最小值，因此函数在
处的导数为零，即
因此，我们有
我们称上式为Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件
2.凸问题的KKT条件
当原问题是凸问题时，满足KKT条件的点也是原、对偶最优解。换言之，如果函数
是凸函数，
是仿射函数，
是任意满足KKT条件的点
那么对
和
分别是原问题和对偶问题的最优解，对偶间隙为零
为了说明这一点，注意到前面两个条件说明了
是原问题的可行解。因为
是x的凸函数；最后一个KKT条件说明在
处，Lagrange函数的导数为零。因此，
关于x求极小在
处取得最小值。我们得出结论
对目标函数和约束问题可微的任意凸优化问题，任意满足KKT条件的点分别是原、对偶问题最优解，对偶间隙为零
若原问题为凸问题，各个函数可微，对偶间隙为零，则KKT条件为充要条件
