仿射集、仿射组合、凸集、凸组合、凸锥

最优化（数学规划）/ optimization/mathemetical programming：从一个可行解集合中找出来一个最好的元素

单目标有约束的优化问题

                               

 其中x为n维优化变量

贯穿两点的直线                                                       

 

连接的x1和x2的线段                         

                                                                                                     

仿射集 Affine set

一个集合C是仿射集，若，则连接x1与x2的直线也在集合内

直线是一个仿射集，线段不是（线段上任意两点所连接的直线一定是包括这个线段的）

仿射组合                                                 

 

证明：有仿射集C,                                                     

 性质：

 存在，则不一定成立，是否存在特殊的仿射集对于这种一般的情况也是成立的

从C仿射集中任意的选择一个点，相对于这个点做一个空间的平移，平移后在新的坐标系内得到新的集合V（与C相关的子空间）

 证明：

意义：如果给定任意的一个仿射集，可以从一个性质一般的仿射集得到一个性质更好的仿射集，可以任意变化，减去后一定经过原点

凸集Convex Set

一个集合C是凸集，当任意两点之间的线段仍然在C内

C为凸集等价于

C为凸集等价于任意元素凸组合属于C

凸锥Convex Cone

 

如下图是锥

 

 下图左侧图像不是锥

 

下图为凸锥，凸锥=凸集+锥