AGC043 A~C 解题报告
A
简要题意：
有一个\(N*M\)的棋盘，每次操作可以选择一个矩形反转。
求最少操作次数，使得能够从\((1,1)\)只经过白色格子而且只向下或向右到达\((N,M)\)。
题目解法：
我们考虑答案路径\(L\)，发现如果\(L\)中有\(x\)段黑色的连续段，那么答案就是\(x\)了。
知道了这个，那么我们设\(dp[i][j]\)表示走到\((i,j)\)的最小段数，转移非常简单。
B
简要题意：
有一个长度为\(N\)的只包含\(1,2,3\)的序列。
一次变换之后，会变成长度减一的序列，其中，第\(i\)个元素\(a_1[i] = abs(a_0[i - 1] - a_0[i])\)。
求出这个序列进行\(N-1\)次变换之后是哪一个数字。
题目解法：
我们先模拟一次变换，发现序列中的值就之后\(0,1,2\)了。
那么就可以发现，答案一定是\(0,1,2\)中的一个。
之后我们考虑怎么才可能令答案是\(2\)，容易发现，如果最后答案是\(2\)，那么从第一次变换之后，就不会有\(1\)了。
简易证明： 如果要出现一个2,那么之前两个数就是\(0,2\)，再之前就是\(0,0,2\)或\(0,2,2\)，再往前考虑，可以用归纳证明。
那么我们分一次变换之后有没有\(1\)考虑就行了。
- 先考虑有\(1\)的，那么答案一定是\(0\)或\(1\)，此时直接求每一个数对答案的贡献奇偶性（组合数）就好了。
- 如果没有\(1\)，那就只有\(0,2\)，将每一个数都除以二，就变成第一种情况了。
C
简要题意：
有三个\(N\)个点的简单无向图，边数分别是\(M_1,M_2,M_3\)，定义\(G\)是这三个图的笛卡尔积。
其中，有\(N^3\)个点，用\((i,j,k)\)表示，有\((M_1+M_2+M_3)N^2\)条边，用\(<(i,j,k),(x,y,z)>\)表示。
我们令一个点\((i,j,k)\)的权值是\(10^{18(i+j+k)}=1000000000000000000^{(i,j,k)}\)。
求出图\(G\)的最大权独立集。
题目解法：
因为是\(10^{18}\)的幂，而\(10^{18} > N^3\)，所以我们可以将\(10^{18}\)当成\(inf\)。
那么如果能选一个\(inf^i\)，就算选了它之后，所有的\(inf^{j},j<i\)都不能选，也不会差。
那么我们就有一个\(O((N+M)^3)\)的做法了，从小到大枚举那\(N^3\)个点，如果能选，就选（注意，因为大小相同的点没有边，所以是对的）。
我们考虑一个点能不能选的判定：
如果与这个点相邻的所有比它大的点都没有被选，那么他才可以选。
反之，只要有一个与它相邻的且比它大的点被选了，那么他就不能选。
是不是很熟悉？回忆 普通\(DAG\)上的博弈，发现能选就对应了必败，必胜就不能选。
于是考虑使用博弈论解决这个问题。
我们将每一条边规定由小的点指向大的点，那么出度为\(0\)的点都是必败的，\(SG=0\)。
而且我们发现每一次转移都只改变一维，那么我们三维之间就是独立的了。
我们设\(sg_i(u)\)表示第\(i\)个图中，\(u\)结点的\(SG\)值。
那么\(Ans = \sum_{sg_1(x)\bigoplus sg_2(y)\bigoplus sg_3(z)=0} inf^{(x+y+z)}\)。
做到这一步，求\(SG\)值，直接用\(set\)就好了，之后的那个统计答案，如果你足够大佬，可以用两次\(FWT\)解决。
但是可以发现，一个点的\(SG\)的上限是\(O(\sqrt{M})\)的，于是，我们暴力枚举卷积就好了。
D
简要题意：
定义一种生成长度为\(3N\)的排列的方法：
初始时有一个空的排列\(P\)，将\(1\sim 3N\)这\(3N\)个数分成\(N\)个长度为\(3\)队列，每次在所有的队首中选一个最小的添加到\(P\)的末尾，求能生成多少种排列。
题目解法：
因为我太菜了，只会\(O(N^3)\)的\(DP\)，所以就不讲了。
推荐一个大佬的题解:别人家的博客
