方而静的博客

摘要： 已知有一个 $n$ 点的无向图 $G$ 不包含三元环，求 $G$ 边数的最大值。 阅读全文

摘要： 现在有 $n$ 个人要成立若干个社团（一个人可以属于多个社团）满足每个社团的人数均为奇数且任意两个的社团所共有的成员数量为偶数，求证所能成立的社团数量不超过 $n$ 个。 阅读全文

摘要： 如果有 $n$ 种不同颜色，每种颜色各 $m$ 个球，每次以均等概率随机取出一个（取出之后不放回去），则期望上取出多少个球后可以取完某种颜色的球？ 阅读全文

摘要： 在集合理论和有理数理论的基础上，我们可以开始构建实数理论。下面将要介绍的是实数系 $\mathbb{R}$ 的一种（通过有理数系 $\mathbb Q$ 出发的）构造方法，是由戴德金于 1872 年提出。这种方法以戴德金分割而著称。除此之外，实数系还可以使用柯西序列的形式极限或者十进制下的小数表示来构造。 阅读全文

摘要： 一个长度为 $n$ 的由 $-1$ 或 $1$ 构成的序列 $a$，其中 $1$ 的个数为 $c$ 个。我们称一个子区间合法是指该子区间的数的和大于等于 $0$。求证：所有合法子区间的左端点的数量不超过 $2c$ 个。 阅读全文

摘要： 本文将会更加深入地研究加法，尤其是连续加法(integral)。简单探讨无限的意义。 阅读全文

摘要： 现在我们来用真正的、关于实数序列的极限来代替形式极限，这将是我们构造实数系的最后一步。 阅读全文

摘要： 回顾一下，我们已经严格地构造了三个基本的数系：自然数系 $\mathbb N$、整数系 $\mathbb Z$ 和有理数系 $\mathbb Q$。这些数已经足够用来做大量的数学事项。但是这还是不够用的，例如在微积分学、三角学甚至几何学中。所以人们需要用实数系来取代有理数系。 实数无法用有理数来表示，但是却明确地处于有理数之间的某个 “空隙” 中：例如 $\sqrt 2$，你任意说一个有理数 $q$，我都能说 $q$ 比 $\sqrt2$ 大还是小，我只需比较 $q^2$ 和 $2$ 的大小关系。实数没有明显的规律，我们不能仅通过引入 $\sqrt[p]{q}$ 之类的符号就能构造所有的实数（我们也不能通过 “方程的根” 来定义实数，因为超越数如 $\pi$ 等的存在）。种种限制下，柯西找到了从有理数定义实数的一个好方法：“取无限有理数序列的极限”。这就好像我们用二分法或者牛顿迭代法确定 $\sqrt 2$，无限地进行下去，我们就能用有理数无限地逼近它，虽然不会达到它。 阅读全文

摘要： 在之前对自然数的讨论中，我们已经得到了自然数系中的许多基本运算性质，但是这些性质只局限于加法和乘法运算。本章我们将引入这两个运算的逆运算，即减法和除法，并借此构建整数系 $\mathbb Z$ 和有理数系 $\mathbb Q$。 阅读全文

摘要： 如果要按照尽可能严格的方式进行，我们不得不从最基础的内容开始讲起：数的概念及性质。什么是数，以及为什么代数法则总是起作用？这是一个值得探讨的问题。即使有的性质和命题看起来是十分显然的，但是证明它可能并不容易。下面我们将要介绍自然数系 $\mathbb N$。毫无疑问，这是所有数系中最基本的。因为随后我们将会使用自然数来构造整数，整数又被用来构造有理数，有理数被用于构造实数，而实数又被用来构造复数。于是，如果我们想要从最基本的内容开始，我们必须考察自然数。 阅读全文