几何分布无记忆性证明

几何分布概念：假设某件事成功概率为p，多次实验相互独立，重复实验至事件成功，则事件在第k次成功的概率服从几何分布，公式表示为：

\[P(X=k)=q^{k-1}p,k=1,2,... (1) \]

几何分布的概率和组成一个几何级数，故此得名
事件成功次数大于k的概率可以表示为

\[P(X>k)=\sum_{i=k}^{\infty} q^{i}p=p\sum_{i=k}^{\infty} q^{i}=p(q^{k}+q^{k+1}+...)(2) \]

则事件成功次数大于k的概率为

\[P(X>k)=p\frac{q^{k}(1-q^{\infty})}{1-q}(3) \]

由于

\[q^{\infty}=0(4) \]

因此

\[P(X>k)=p\frac{q^{k}}{1-q}=q^{k}(5) \]

\[p=1-q(6) \]

几何分布的无记忆性表示为

\[P(X>n+m|X>n)=P(X>m)(7) \]

有

\[P(X>m)=q^{m}(8) \]

又有

\[P(X>n+m|X>n)=\frac{P(X>n+m)}{P(X>n)}=q^{n+m}/q^{n}=q^{m}(9) \]

故此式(7)得证