线代初步

向量空间

• 线性相关与线性无关（独立）

给定向量组 \(\mathcal{A}=\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},...,\boldsymbol{a_m}\) ，如果存在不全为零的实数 \(k_1,k_2,...,k_m\)，使：

\(k_1\boldsymbol{a_1}+k_2\boldsymbol{a_2}+...+k_m\boldsymbol{a_m}=\boldsymbol{0}\) 。

则称向量组 \(\mathcal{A}\) 是线性相关的，否则称它为线性无关。

注意到 \(\mathcal{A}\) 是一个向量组，也就是说里面的每个向量都有可能有很多维。

大概是下图这样。

• 线性空间与基

若一组向量可以生成整个 \(n\) 维空间，且线性无关，这组向量一定有 \(n\) 个，则称这组向量为这个 \(n\) 维空间的一组基 （bases）。

因为可以生成整个 \(n\) 维空间的 \(n\) 个线性无关的 \(n\) 维向量可以有无数组，所以一个空间可以有无数组基。

对于 \(n\) 维空间中的 \(m\) 个向量（\(m>n\)），则它们一定线性相关，注意到只是说线性相关，并不一定是每个向量都能被其他向量表示出。

行列式

本质是 \(n\) 维行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积。

wls 的性质证明写的很好理解

但是总觉得这样不太能 get 到原理，所以再挑几个性质用感性理解说一说。

从定义入手，将矩阵与行列式枚举的每个排列联系起来，定义 \(f(i)=a_i\) 表示第 \(i\) 行选了第 \(a_i\) 个元素，与此同时它还代表排列第 \(i\) 个位置为 \(a_i\)，所以对于矩阵中选出的点，位置为 \((i,f(i))\)。

• Lemma 0.2.3. 交换矩阵两行，行列式变号。

Proof. 对于矩阵的两行 \(a,b\)，交换它们相当于对于原来选的 \((a,f(a))\) 和 \((b,f(b))\) 变成了 \((a,f(b))\) 和 \((b,f(a))\) 才能保持权值乘积不变，相当于在排列中交换两个元素，而交换必然导致逆序对数量发生改变，所以变号。

• Lemma 0.2.5. 若矩阵有相同的两行，则行列式为 \(0\)。

Proof. 考虑相同的两行 \(a,b\) ，钦定 \(f(a)<f(b)\) ，此时会有 \(\frac{n!}{2}\) 种选法，得到的权值为 \(val\)，在每种选法的基础上交换 \(f(a)\) 与 \(f(b)\) ，得到剩下的 \(\frac{n!}{2}\) 种选法，逆序对数量与前一半刚好差一，奇偶性改变，所以权值为 \(-val\)，相加为 \(0\)。

• Lemma 0.2.6. 若矩阵有两行存在倍数关系，则行列式为 \(0\)。

Proof. 考虑与 Lemma 0.2.5. 采用相似的做法。假设 \(b=ka\)，则 \(v_{a,f(a)}\times v_{b,f(b)}=v_{a,f(a)}\times v_{a,f(b)}\times k=v_{a,f(b)}\times v_{b,f(a)}\) ，交换后 \(val\) 绝对值不变，逆序对数量奇偶性改变，所以相加仍为 \(0\)。

• Lemma 0.2.9. 原矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。

Proof. 矩阵的转置操作，对于同一种选法，若原矩阵选取了 \((i,f(i))\)，那么为了保持相同，其转置矩阵则选取了 \((f(i),i)\)。即对于一个排列，现取它的逆排列，求证原排列与逆排列逆序数相同（更弱的限制是奇偶性相同）。
考虑点对 \((x,y)\) 与 \((z,w)\) 有贡献（\(x<z\)），当且仅当 \(y>w\)，逆排列将贡献点对转换为 \((w,z)\) 与 \((y,x)\)，容易发现满足 \(w<y \wedge z>x\) ，所以二维偏序贡献点对不改变，逆序对数量不变。

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有了这些性质，用高斯消元求解行列式才有正确性的保证。

而消元的过程又可以加深对性质的理解，比如 Lemma 0.2.6. 中的倍数关系就可以理解成，消元后一行为 \(0\) 那么行列式必然为 \(0\)。

Matrix-Tree 定理

link

有环一定线性相关，因为可以轮流消掉整个环使得一列是 \(0\)，即 \(\det(M_0[S])=0\)。

否则则可以从叶子节点编号的一行开始，确定该行能选的位置 \(i\)，用这个消掉他父亲行的 \(i\) ，这样一层一层把叶子剥掉，每个点会有确定选择的位置，且只能是 \(1\) 或 \(-1\)，故 \(\det(M_0[S])=\pm 1\)。

剩下的博客里写的很清晰了。

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• 应用

\(\sum_{T}\prod_{e\in T} w_e\) 类型的问题

考虑到生成树计数就相当于 \(w_e=1\) 。

那么对于一般形式的 \(w_e\) ，我们则可以将关联矩阵中的 \(1\) 和 \(-1\) 改成 \(\sqrt{w_e}\) 和 \(-\sqrt{w_e}\)，手推一下可以推出拉普拉斯矩阵。

P3317

本质是求 \(\sum_{T}\prod_{e\in T} p_e \prod_{e\notin T} (1-p_e)\) 。

\[\sum_{T}\prod_{e\in T} p_e \prod_{e\notin T} (1-p_e) \]

\[=\sum_{T}\prod_{e\in T} p_e \frac{\prod_{e} (1-p_e)}{\prod_{e\in T}(1-p_e)} \]

\[=\prod_e(1-p_e)\sum_{T}\prod_{e\in T} \frac{p_e}{1-p_e} \]

容易发现 \(\prod_e(1-p_e)\) 是一个常数，\(\frac{p_e}{1-p_e}\) 可以看做 \(w_e\)。

\(p_e\) 存在 \(1\) 的话就变成 \(1-eps\) ，不过更正确的做法是现将这些边用并查集并起来，如果存在环就无解，否则就缩成一个点做矩阵树。